Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
1.1. Основная теорема
Через K в дальнейшем будет обозначаться некоторое поле. Основ-
ные интересующие нас примеры полей таковы: Q (поле рациональных
чисел), R (поле действительных чисел), C (поле комплексныз чисел).
Определение векторного пространства над полем K, и базиса вектор-
ного пространства предполагается известным. Определения и основные
свойства можно найти также в параграфе 3.1 второго выпуска данного
пособия.
Напомним некоторые примеры векторных пространств.
Пример 1.1.1. Само поле K является одномерным векторным про-
странством над K. В качестве базиса можно взять любой ннулевой эле-
мент поля K.
Пример 1.1.2. Поле C есть векторное пространство над полем R с
базисом 1, i.
Пример 1.1.3. Множество m × n-матриц M
m,n
(K) над полем K есть
векторное пространство над K с базисом, состоящим из матричных
единиц — матриц E
i,j
, i, j-е элементы которых равны единице, а все
остальные компоненты нулевые. Если A ∈ M
m,n
(K), a
k,l
— элементы A,
то
A =
m
∑
i=1
n
∑
j=1
a
i,j
E
i,j
.
Пример 1.1.4. Пусть в предыдущем примере n = 1, т.е. рассматрива-
ются матрицы с m строками и одним столбцом. В этом случае вместо
M
m,1
(K) используется обозначение K
m
. Это векторное пространство
7
            ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

                       1.1. Основная теорема

     Через K в дальнейшем будет обозначаться некоторое поле. Основ-
ные интересующие нас примеры полей таковы: Q (поле рациональных
чисел), R (поле действительных чисел), C (поле комплексныз чисел).
     Определение векторного пространства над полем K, и базиса вектор-
ного пространства предполагается известным. Определения и основные
свойства можно найти также в параграфе 3.1 второго выпуска данного
пособия.
     Напомним некоторые примеры векторных пространств.

Пример 1.1.1. Само поле K является одномерным векторным про-
странством над K. В качестве базиса можно взять любой ннулевой эле-
мент поля K.


Пример 1.1.2. Поле C есть векторное пространство над полем R с
базисом 1, i.


Пример 1.1.3. Множество m × n-матриц Mm,n (K) над полем K есть
векторное пространство над K с базисом, состоящим из матричных
единиц — матриц Ei,j , i, j-е элементы которых равны единице, а все
остальные компоненты нулевые. Если A ∈ Mm,n (K), ak,l — элементы A,
то
                                ∑
                                m ∑
                                  n
                           A=             ai,j Ei,j .
                                i=1 j=1


Пример 1.1.4. Пусть в предыдущем примере n = 1, т.е. рассматрива-
ются матрицы с m строками и одним столбцом. В этом случае вместо
Mm,1 (K) используется обозначение K m . Это векторное пространство

                                    7

Страницы