Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 11 стр.

Но так как по условию f (vi ) = g(vi ) для всех i, то правые части этих
выражений равны, а значит, равны и левые, то есть f (v) = g(v). Ввиду
произвольности v отсюда следует f = g.
   Отметим, что в приведенном выше рассуждении нигде не исполь-
зовалась линейная независимость векторов v1 , . . . , vn , достаточно было
того, что каждый вектор v ∈ V можно хотя бы одним способом предста-
                                ∑
                                n
вить в виде линейной комбинации   αi vi . А это и означает, что вектора
                                       i=1
v1 , . . . , vn порождают V .
   Докажем пункт 2). Предположим, что линейное отображение f с ука-
занным в пункте 2) свойством (т.е. f (vi ) = ui для всех i) существует.
                                                                ∑n
Пусть v — некоторый вектор из V . Запишем его в виде v =           λi vi .
                                                                     i=1
Поробуем выяснить, каким должно быть значение f (v):
                             ∑n           ∑
                                          n              ∑
                                                         n
                  f (v) = f (   λi vi ) =   λi f (vi ) =   λi ui .
                            i=1             i=1         i=1

Последнее равенство справедливо ввиду условия f (vi ) = ui для каждого
i. Полученная формула совпадает с (1.1.1), и это означает, что если f
вообще существует, то для произвольного v значение f (v) определяется
по формуле (1.1.1). Остается доказать, что формула (1.1.1) определяет
отображение f : V → W , и это отображение линейно.
   Первое утверждение кажется тривиальным, но это не совсем так. Де-
ло в том, что значение выражения, стоящего справа от знака равенства
в формуле (1.1.1), зависит от коэффициентов λi в записи вектора v в ви-
де линейной комбинации векторов v1 , . . . , vn . Но если бы тот же вектор
                                                                   ∑n
v можно было представить еще одним способом, например, v =            αi v i ,
                                                                     i=1
и λj ̸= αj для некоторого j, то возник бы вопрос, как вычислять f (v): то
            ∑n                       ∑
                                     n
ли f (v) =     λi ui , то ли f (v) =   αi ui . Это означало бы, что отобра-
            i=1                       i=1
жение не определено: нет способа однозначно сопоставить аргументу v
значение f (v).

                                        11