Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

W — линейное отображение. Тогда для каждого j, 1 ≤ j ≤ n, сущест-
вуют такие элементы a
i,j
∈ K, что имеют место равенства:
f(v
j
) =
m
i=1
a
i,j
w
i
(1.2.1)
Элементы a
i,j
определены однозначно. Составим из них матрицу с m
строками и n столбцами:
M
f
=
a
1,1
a
1,2
. . . a
1,n
a
2,1
a
2,2
. . . a
2,n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m,1
a
m,2
. . . a
m,n
Определение 1.2.1. Построенная выше матрица M
f
называется мат-
рицей линейного отображения f относительно базисов v
1
, . . . , v
n
,
w
1
, . . . , w
m
(или в базисах v
1
, . . . , v
n
, w
1
, . . . , w
m
).
Теорема 1.2.1. При выбранных и зафиксированных базисах в V и W
соответствие f 7→ M
f
задает взаимно-однозначное соответствие
между линейными отображениями из V в W , и m × n-матрицами с
компонентами из K.
Доказательство. Обозначим временно через L(V, W ) множество
всех линейных отображений из V в W . Когда мы сопоставляем отобра-
жению f ∈ L(V, W ) матрицу M
f
, мы тем самым задаем отображение
из L(V, W ) в M
m,n
(K). Чтобы доказать теорему, необходимо построить
обратное отображение M
m,n
(K) → L(V, W ).
Пусть дана матрица A ∈ M
m,n
(K) с компонентами a
i,j
, 1 ≤ i ≤ m,
1 ≤ j ≤ n. Сначала образуем элементы u
j
=
m
i=1
a
i,j
w
i
∈ W . Теперь,
по теореме 1.1.1, существует, притом только одно, линейное отображе-
ние h
A
: V → W , такое, что h
A
(v
j
) = u
j
для каждого j, 1 ≤ j ≤ n.
Соответствие A 7→ h
A
задает отображение M
m,n
(K) → L(V, W ).
13
W — линейное отображение. Тогда для каждого j, 1 ≤ j ≤ n, сущест-
вуют такие элементы ai,j ∈ K, что имеют место равенства:
                                                 ∑
                                                 m
                                     f (vj ) =         ai,j wi             (1.2.1)
                                                 i=1

Элементы ai,j определены однозначно. Составим из них матрицу с m
строками и n столбцами:
                                                                     
                                  a    a1,2             . . . a1,n
                                 1,1                                 
                                 a                                   
                                 2,1 a2,2              . . . a2,n    
                           Mf =  .     ..                     ..     
                                 ..     .               ...    .     
                                                                     
                                  am,1 am,2             . . . am,n

Определение 1.2.1. Построенная выше матрица Mf называется мат-
рицей линейного отображения f относительно базисов v1 , . . . , vn ,
w1 , . . . , wm (или в базисах v1 , . . . , vn , w1 , . . . , wm ).

Теорема 1.2.1. При выбранных и зафиксированных базисах в V и W
соответствие f 7→ Mf задает взаимно-однозначное соответствие
между линейными отображениями из V в W , и m × n-матрицами с
компонентами из K.

   Доказательство. Обозначим временно через L(V, W ) множество
всех линейных отображений из V в W . Когда мы сопоставляем отобра-
жению f ∈ L(V, W ) матрицу Mf , мы тем самым задаем отображение
из L(V, W ) в Mm,n (K). Чтобы доказать теорему, необходимо построить
обратное отображение Mm,n (K) → L(V, W ).
  Пусть дана матрица A ∈ Mm,n (K) с компонентами ai,j , 1 ≤ i ≤ m,
                                          ∑m
1 ≤ j ≤ n. Сначала образуем элементы uj =    ai,j wi ∈ W . Теперь,
                                                                     i=1
по теореме 1.1.1, существует, притом только одно, линейное отображе-
ние hA : V → W , такое, что hA (vj ) = uj для каждого j, 1 ≤ j ≤ n.
Соответствие A 7→ hA задает отображение Mm,n (K) → L(V, W ).

                                                 13

Страницы