Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

для построения его матрицы используется не два различных базиса, а
один и тот же, например, v
1
, . . . , v
n
. В этом случае матрица f опреде-
ляется из равенств:
f(v
j
) =
n
∑
i=1
a
i,j
v
i
(1.2.2)
Это равенство есть важный частный случай равенства (1.2.1).
Найдем матрицы линейных отображений из примеров 1.1.6, 1.1.7,
1.1.8.
Пример 1.2.1. Пусть f : V → V таково, что f(v) = αv. Пусть
v
1
, . . . , v
n
— произвольный базис V . Тогда матрица f имеет следую-
щий вид:
α 0 . . . 0
0 α . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . α
В самом деле, пусть f(v
i
) = αv
i
для всех i, 1 ≤ i ≤ n. Эти равенства
надо представлять в следующем виде:
f(v
i
) = 0 · v
1
+ · · · + 0 · v
i−1
+ α · v
i
+ 0 · v
i+1
+ · · · + 0 · v
n
,
и тогда коэффициенты при векторах из базиса в правой части равенства
образуют i-й столбец матрицы M
f
. Но очевидно, что это в точности i-й
столбец n × n-матрицы, показанной выше.
В частности, полагая α = 1, делаем вывод, что матрицей тождест-
венного (единичного) линейного отображения в любом базисе является
единичная матрица.
В случае, если пространство V одномерно, матрица линейного ото-
бражения f имеет размер 1 × 1 и поэтому фактически совпадает с эле-
ментом α.
15
для построения его матрицы используется не два различных базиса, а
один и тот же, например, v1 , . . . , vn . В этом случае матрица f опреде-
ляется из равенств:
                                               ∑
                                               n
                                   f (vj ) =         ai,j vi                          (1.2.2)
                                               i=1
Это равенство есть важный частный случай равенства (1.2.1).
   Найдем матрицы линейных отображений из примеров 1.1.6, 1.1.7,
1.1.8.

Пример 1.2.1. Пусть f : V → V таково, что f (v) = αv. Пусть
v1 , . . . , vn — произвольный базис V . Тогда матрица f имеет следую-
щий вид:                                                 
                                      α 0 ... 0
                                                   
                                       α ... 0 
                                     0             
                                     .... . . . .. 
                                      . .        . 
                                                   
                                      0 0 ... α
В самом деле, пусть f (vi ) = αvi для всех i, 1 ≤ i ≤ n. Эти равенства
надо представлять в следующем виде:

         f (vi ) = 0 · v1 + · · · + 0 · vi−1 + α · vi + 0 · vi+1 + · · · + 0 · vn ,

и тогда коэффициенты при векторах из базиса в правой части равенства
образуют i-й столбец матрицы Mf . Но очевидно, что это в точности i-й
столбец n × n-матрицы, показанной выше.
   В частности, полагая α = 1, делаем вывод, что матрицей тождест-
венного (единичного) линейного отображения в любом базисе является
единичная матрица.

   В случае, если пространство V одномерно, матрица линейного ото-
бражения f имеет размер 1 × 1 и поэтому фактически совпадает с эле-
ментом α.

                                            15

Страницы