Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Последнее равенство выполняется ввиду линейности f. Так как
g(f(v)) = v для каждого v ∈ V , то
g(α
1
w
1
+ α
2
w
2
) = g(f(α
1
v
1
+ α
2
v
2
)) = α
1
v
1
+ α
2
v
2
.
Применяя к левой и правой частям равенств w
i
= f(v
i
) отображение g,
получаем g(w
i
) = g(f(v
i
)) = v
i
, i = 1, 2. Таким образом, α
1
v
1
+ α
2
v
2
=
α
1
g(w
1
) + α
2
g(w
2
), что и доказывает лемму.
Определение 1.3.1. Биективное линейное отображение f : V → W
называется изоморфизмом между V и W . Если между V и W существу-
ет изоморфизм, то говорят также, что пространства V и W изоморфны.
Это обозначается следующим образом: V
∼
=
W .
Теорема 1.3.1. 1) Линейное отображение f : V → W являет-
ся биективным тогда и только тогда, когда для любого бази-
са v
1
, . . . , v
n
пространства V элементы f(v
1
), . . . , f(v
n
) являются
базисом W .
2) Векторные пространства V и W изоморфны тогда и только тог-
да, если dim(V ) = dim(W ).
Доказательство. Докажем пункт 1). Допустим, что линейное ото-
бражение f биективно. Тогда, как уже показано выше, обратное к нему
отображение g линейно. Пусть v
1
, . . . , v
n
— базис V . Ввиду биективнос-
ти f каждый вектор w ∈ W можно представить в виде w = f(v) для не-
которого v ∈ V . Вектор v запишем через выбранный базис: v =
n
i=1
α
i
v
i
.
Тогда
w = f(v) = f(
n
i=1
α
i
v
i
) =
n
i=1
α
i
f(v
i
).
Теперь, чтобы убедиться в том, что векторы f(v
1
), . . . , f(v
n
) образуют
базис пространства W , осталось доказать, что эти векторы линейно не-
22
Последнее равенство выполняется ввиду линейности f . Так как
g(f (v)) = v для каждого v ∈ V , то

           g(α1 w1 + α2 w2 ) = g(f (α1 v1 + α2 v2 )) = α1 v1 + α2 v2 .

Применяя к левой и правой частям равенств wi = f (vi ) отображение g,
получаем g(wi ) = g(f (vi )) = vi , i = 1, 2. Таким образом, α1 v1 + α2 v2 =
α1 g(w1 ) + α2 g(w2 ), что и доказывает лемму.

Определение 1.3.1. Биективное линейное отображение f : V → W
называется изоморфизмом между V и W . Если между V и W существу-
ет изоморфизм, то говорят также, что пространства V и W изоморфны.
Это обозначается следующим образом: V ∼ = W.

Теорема 1.3.1.      1) Линейное отображение f : V → W являет-
    ся биективным тогда и только тогда, когда для любого бази-
    са v1 , . . . , vn пространства V элементы f (v1 ), . . . , f (vn ) являются
    базисом W .

 2) Векторные пространства V и W изоморфны тогда и только тог-
    да, если dim(V ) = dim(W ).

  Доказательство. Докажем пункт 1). Допустим, что линейное ото-
бражение f биективно. Тогда, как уже показано выше, обратное к нему
отображение g линейно. Пусть v1 , . . . , vn — базис V . Ввиду биективнос-
ти f каждый вектор w ∈ W можно представить в виде w = f (v) для не-
                                                             ∑
                                                             n
которого v ∈ V . Вектор v запишем через выбранный базис: v =   αi v i .
                                                                           i=1
Тогда
                                    ∑
                                    n                  ∑
                                                       n
                  w = f (v) = f (         αi v i ) =         αi f (vi ).
                                    i=1                i=1
Теперь, чтобы убедиться в том, что векторы f (v1 ), . . . , f (vn ) образуют
базис пространства W , осталось доказать, что эти векторы линейно не-

                                          22

Страницы