Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1
W
(w
i
) = w
i
= f(g(w
i
)), откуда следует, что fg = 1
W
. Это означает,
что f и g — взаимно обратные линейные отображения.
Докажем пункт 2). Если существует изоморфизм между V и W , то
есть биективное линейное отображение f : V → W то, согласно пункту
1), базис v
1
, . . . , v
n
отображается в базис f(v
1
), . . . , f(v
n
). Это означает,
что n = dim(V ) = dim(W ).
Обратно, пусть dim(V ) = dim(W ) = n. Выберем базис v
1
, . . . , v
n
в
пространстве V , и базис w
1
, . . . , w
n
пространства W . Тогда, по теореме
1.1.1, существуют линейное отображение f : V → W такое, что f(v
i
) =
w
i
, и линейное отображение g : W → V такое, что g(w
i
) = v
i
для
всех индексов i. Таким образом, f(g(w
i
)) = w
i
и g(f(v
i
)) = v
i
. Теперь,
рассуждая так же, как при доказательстве пункта 1), выводим отсюда,
что f и g являются взаимно обратными биективными отображениями.
То есть пространства V и W изоморфны.
Теорема 1.3.2. Линейное отображение f : V → W является биек-
тивным тогда и только тогда, когда его матрица M
f
является квад-
ратной и невырожденной (обратимой). При этом, если g = f
−1
, то
M
g
= M
−1
f
. Данное свойство не зависит от выбора базисов, в кото-
рых вычисляется матрица M
f
.
Доказательство. Если f — биекция, то n = dim(V ) = dim(W ) =
m, и это значит, что m × n-матрица M
f
является квадратной при лю-
бом выборе базисов в V и W . Выберем какие угодно базисы в V и в W ,
и будем считать, что матрица M
f
вычислена с помощью этих базисов.
Если g = f
−1
, то, как уже известно, g также является линейным отобра-
жением. По определению g, имеют место равенства fg = 1
W
и gf = 1
V
.
Применим к ним формулу из теоремы 1.2.3, предполагая, что матрица
M
g
вычислена с помощью уже выбранных базисов. Поскольку матрицы
тождественных отображений при любом выборе базиса являются еди-
24
1W (wi ) = wi = f (g(wi )), откуда следует, что f g = 1W . Это означает,
что f и g — взаимно обратные линейные отображения.
   Докажем пункт 2). Если существует изоморфизм между V и W , то
есть биективное линейное отображение f : V → W то, согласно пункту
1), базис v1 , . . . , vn отображается в базис f (v1 ), . . . , f (vn ). Это означает,
что n = dim(V ) = dim(W ).
   Обратно, пусть dim(V ) = dim(W ) = n. Выберем базис v1 , . . . , vn в
пространстве V , и базис w1 , . . . , wn пространства W . Тогда, по теореме
1.1.1, существуют линейное отображение f : V → W такое, что f (vi ) =
wi , и линейное отображение g : W → V такое, что g(wi ) = vi для
всех индексов i. Таким образом, f (g(wi )) = wi и g(f (vi )) = vi . Теперь,
рассуждая так же, как при доказательстве пункта 1), выводим отсюда,
что f и g являются взаимно обратными биективными отображениями.
То есть пространства V и W изоморфны.

Теорема 1.3.2. Линейное отображение f : V → W является биек-
тивным тогда и только тогда, когда его матрица Mf является квад-
ратной и невырожденной (обратимой). При этом, если g = f −1 , то
Mg = Mf−1 . Данное свойство не зависит от выбора базисов, в кото-
рых вычисляется матрица Mf .

   Доказательство. Если f — биекция, то n = dim(V ) = dim(W ) =
m, и это значит, что m × n-матрица Mf является квадратной при лю-
бом выборе базисов в V и W . Выберем какие угодно базисы в V и в W ,
и будем считать, что матрица Mf вычислена с помощью этих базисов.
Если g = f −1 , то, как уже известно, g также является линейным отобра-
жением. По определению g, имеют место равенства f g = 1W и gf = 1V .
Применим к ним формулу из теоремы 1.2.3, предполагая, что матрица
Mg вычислена с помощью уже выбранных базисов. Поскольку матрицы
тождественных отображений при любом выборе базиса являются еди-

                                         24

Страницы