Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 1.3.2. Ker(f) — векторное подпространство пространства
V , Im(f) — векторное подпространство пространства W .
Доказательство. Пусть v
1
, v
2
∈ Ker(f), и α
1
, α
2
∈ K. Покажем,
что α
1
v
1
+ α
2
v
2
∈ Ker(f). Во-первых, заметим, что условия v
i
∈ Ker(f)
(i = 1, 2) означают, что f(v
i
) = 0. Отсюда следует равенство:
f(α
1
v
1
+ α
2
v
2
) = α
1
f(v
1
) + α
2
f(v
2
) = 0.
Но по определению ядра это и означает, что α
1
v
1
+ α
2
v
2
∈ Ker(f).
В случае Im(f) надо также взять w
1
, w
2
∈ Im(f), α
1
, α
2
∈ K, и пока-
зать, что α
1
w
1
+ α
2
w
2
∈ Im(f). По определению Im(f), если w
i
∈ Im(f)
(i = 1, 2), то это означает, что w
i
= f(v
i
) для некоторых v
i
∈ V . Тогда
α
1
w
1
+ α
2
w
2
= α
1
f(v
1
) + α
2
f(v
2
) = f(α
1
v
1
+ α
2
v
2
).
Вектор f(α
1
v
1
+ α
2
v
2
) принадлежит множеству Im(f) по определению.
Теорема 1.3.3. Линейное отображение f инъективно тогда и толь-
ко тогда, если Ker(f) = {0}.
Доказательство. Инъективность любого отображения f означает
по определению, что из f(v
1
) = f(v
2
) всегда следует v
1
= v
2
. Если f
инъективно и линейно, то для v ∈ Ker(f) будем иметь f(v) = 0 = f(0).
Отсюда ввиду инъективности следует, что v = 0, то есть Ker(f) состоит
из одного нулевого вектора.
Обратно, пусть f — линейное отображение и Ker(f) = {0}. Если
f(v
1
) = f(v
2
), то f(v
1
− v
2
) = f(v
1
) − f(v
2
) = 0, и поэтому v
1
− v
2
∈
Ker(f). Однако единственным векторм, содержащимся в ядре, является
нулевой вектор. Следовательно, v
1
− v
2
= 0, v
1
= v
2
, и это означает, что
отображение f биективно.
26
Лемма 1.3.2. Ker(f ) — векторное подпространство пространства
V , Im(f ) — векторное подпространство пространства W .

   Доказательство. Пусть v1 , v2 ∈ Ker(f ), и α1 , α2 ∈ K. Покажем,
что α1 v1 + α2 v2 ∈ Ker(f ). Во-первых, заметим, что условия vi ∈ Ker(f )
(i = 1, 2) означают, что f (vi ) = 0. Отсюда следует равенство:

                  f (α1 v1 + α2 v2 ) = α1 f (v1 ) + α2 f (v2 ) = 0.

Но по определению ядра это и означает, что α1 v1 + α2 v2 ∈ Ker(f ).
   В случае Im(f ) надо также взять w1 , w2 ∈ Im(f ), α1 , α2 ∈ K, и пока-
зать, что α1 w1 + α2 w2 ∈ Im(f ). По определению Im(f ), если wi ∈ Im(f )
(i = 1, 2), то это означает, что wi = f (vi ) для некоторых vi ∈ V . Тогда

            α1 w1 + α2 w2 = α1 f (v1 ) + α2 f (v2 ) = f (α1 v1 + α2 v2 ).

Вектор f (α1 v1 + α2 v2 ) принадлежит множеству Im(f ) по определению.


Теорема 1.3.3. Линейное отображение f инъективно тогда и толь-
ко тогда, если Ker(f ) = {0}.

   Доказательство. Инъективность любого отображения f означает
по определению, что из f (v1 ) = f (v2 ) всегда следует v1 = v2 . Если f
инъективно и линейно, то для v ∈ Ker(f ) будем иметь f (v) = 0 = f (0).
Отсюда ввиду инъективности следует, что v = 0, то есть Ker(f ) состоит
из одного нулевого вектора.
   Обратно, пусть f — линейное отображение и Ker(f ) = {0}. Если
f (v1 ) = f (v2 ), то f (v1 − v2 ) = f (v1 ) − f (v2 ) = 0, и поэтому v1 − v2 ∈
Ker(f ). Однако единственным векторм, содержащимся в ядре, является
нулевой вектор. Следовательно, v1 − v2 = 0, v1 = v2 , и это означает, что
отображение f биективно.

                                         26

Страницы