Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Это означает, что Im(g) ⊆ ⟨A
1
, . . . , A
n
⟩. Чтобы показать обратное вклю-
чение, рассмотрим произвольную линейную комбинацию y =
n
i=1
α
i
A
i
∈
⟨A
1
, . . . , A
n
⟩. Положим x =
n
i=1
α
i
e
i
∈ K
n
. Легко убедиться, что y =
g(x) ∈ Im(g).
4. Если U ⊆ W — подпространство W , и U = ⟨u
1
, . . . , u
n
⟩ (в этом
случае говорят, что u
1
, . . . , u
n
— множество образующих, или порожда-
ющих элементов подпространства U), то из u
1
, . . . , u
n
можно выбрать
базис U. Это — максимальное линейно независимое подмножество мно-
жества u
1
, . . . , u
n
.
В самом деле, пусть максимальное линейно независимое подмножест-
во среди u−1, . . . , u
n
есть u
1
, . . . , u
k
. Покажем, что каждый вектор u ∈ U
есть линейная комбинация векторов u
1
, . . . , u
k
. По условию u есть ли-
нейная комбинация векторов u
1
, . . . , u
k
, u
k+1
, . . . , u
n
. Запишем это так:
u =
k
i=1
α
i
u
i
+
n
j=k+1
β
j
u
j
. (1.3.2)
Условие максимальности при выборе u
1
, . . . , u
k
означает, что добавле-
ние к этому множеству любого вектора v
j
, j = k + 1, . . . , n делает мно-
жество векторов u
1
, . . . , u
k
, u
j
линейно зависимым. Это значит, что есть
нетривиальная линейная комбинация вида
k
i=1
γ
i,j
u
i
+ γ
j,j
u
j
= 0. (1.3.3)
Если бы в этой линейной комбинации было γ
j,j
= 0, то мы получили
бы линейную зависимость между векторами u
1
, . . . , u
k
(так среди γ
i,j
по предположению обязательно есть хотя бы одно ненулевое число).
Поскольку это невозможно, то γ
j,j
̸= 0. Разделив обе части равенства
(1.3.2) на γ
j,j
, мы получим возможность выразить u
j
в виде линейной
29
Это означает, что Im(g) ⊆ ⟨A1 , . . . , An ⟩. Чтобы показать обратное вклю-
                                                                  ∑n
чение, рассмотрим произвольную линейную комбинацию y =               αi Ai ∈
                                                                      i=1
                                   ∑
                                   n
⟨A1 , . . . , An ⟩. Положим x =          αi ei ∈ K n . Легко убедиться, что y =
                                   i=1
g(x) ∈ Im(g).
   4. Если U ⊆ W — подпространство W , и U = ⟨u1 , . . . , un ⟩ (в этом
случае говорят, что u1 , . . . , un — множество образующих, или порожда-
ющих элементов подпространства U ), то из u1 , . . . , un можно выбрать
базис U . Это — максимальное линейно независимое подмножество мно-
жества u1 , . . . , un .
   В самом деле, пусть максимальное линейно независимое подмножест-
во среди u−1, . . . , un есть u1 , . . . , uk . Покажем, что каждый вектор u ∈ U
есть линейная комбинация векторов u1 , . . . , uk . По условию u есть ли-
нейная комбинация векторов u1 , . . . , uk , uk+1 , . . . , un . Запишем это так:
                                ∑
                                k               ∑
                                                n
                           u=         αi ui +           βj uj .             (1.3.2)
                                i=1             j=k+1

Условие максимальности при выборе u1 , . . . , uk означает, что добавле-
ние к этому множеству любого вектора vj , j = k + 1, . . . , n делает мно-
жество векторов u1 , . . . , uk , uj линейно зависимым. Это значит, что есть
нетривиальная линейная комбинация вида
                            ∑
                            k
                                   γi,j ui + γj,j uj = 0.                   (1.3.3)
                             i=1

Если бы в этой линейной комбинации было γj,j = 0, то мы получили
бы линейную зависимость между векторами u1 , . . . , uk (так среди γi,j
по предположению обязательно есть хотя бы одно ненулевое число).
Поскольку это невозможно, то γj,j ̸= 0. Разделив обе части равенства
(1.3.2) на γj,j , мы получим возможность выразить uj в виде линейной


                                           29

Страницы