Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 34 стр.

  Отметим, что условие v ̸= 0 является совершенно обязательным.

Пример 1.4.1. Элемент 0 ∈ K является собственным значением f тог-
да и только тогда, если Ker(f ) ̸= {0}. В этом случае ненулевые векторы
из Ker(f ) — это в точности все собственные векторы f , отвечающие
собственному значению 0.

  Пусть f : V → V — некоторый линейный оператор. Для произволь-
ного λ ∈ K обозначим через V λ множество всех векторов из V , таких,
что f (v) = λv. Ясно, что V λ ̸= 0 в том и только в том случае, если λ есть
собственное значение f . В этом случае V λ называется пространством
(всех) собственных векторов, отвечающих собственному значению λ.
  Так как f (0) = 0 = λ · 0, то нулевой вектор принадлежит множеству
V λ . Собственные векторы (отвечающие собственному значению λ) —
это ненулевые векторы из V λ . Если таких векторов нет, то λ не является
собственным значением оператора f .

Лемма 1.4.1. V λ является векторным подпространством простран-
ства V (для любого λ ∈ K).

  Доказательство. Пусть v1 , v2 ∈ V λ , α − 1, α2 ∈ K. Покажем, что
v = α1 v1 + α2 v2 ∈ V λ . В самом деле,

              f (v) = f (α1 v1 + α2 v2 ) = α1 f (v1 ) + α2 f (v2 ) =
                     α1 (λv1 ) + α2 (λv2 ) = λ(α1 v1 + α2 v2 ) = λv.


  Если A есть матрица оператора f в некотором базисе v1 , . . . , vn ,
    ∑
    n
v =   xi vi , и x = (x1 , . . . , xn )т , то x ̸= 0 и Ax = λx. Обратно, если
     i=1
для некоторого ненулевого столбца x имеет место равенство Ax = λx,
                      ∑
                      n
то f (v) = λv для v =   xi vi . Таким образом, можно без потери общнос-
                        i=1
ти говорить о собственных значениях матрицы A: это такие λ ∈ K, для

                                         34