Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Так как по предположению индукции векторы v
1
, . . . , v
m−1
линейно не-
зависимы, то отсюда следует, что для всех i, 1 ≤ i ≤ m − 1 коэффици-
енты γ
i
λ
i
− β
i
должны быть равны нулю. Вспоминая, что γ
i
= β
i
λ
−1
m
,
приходим к равенствам
β
i
λ
−1
m
λ
i
− β
i
= 0,
или
β
i
λ
i
= β
i
λ
m
.
Выберем тот индекс j, для которого β
j
̸= 0. Тогда соответствующее
равенство можно разделить на β
j
. В результате получим, что
λ
j
= λ
m
,
где j < m. Но это противоречит условиям теоремы. Следовательно,
предположение о линейной зависимости векторов v
1
, . . . , v
m
приводит к
противоречию.
Определение 1.4.4. Пусть дан линейный оператор f : V → V . Гово-
рят, что он является диагонализируемым, если существует базис про-
странства V , состоящий из собственных векторов оператора f.
Матрица диагонализируемого оператора f в этом базисе имеет вид:
λ
1
0 . . . 0
0 λ
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . λ
n
При этом χ
f
(t) = (−1)
n
(t − λ
1
) . . . (t − λ
n
), λ
1
, . . . , λ
n
— все собственные
значения f (с учетом кратностей).
Диагонализируемость оператора f равносильна тому, что для любой
его матрицы A (матрицы в произвольно выбранном базисе) существует
40
Так как по предположению индукции векторы v1 , . . . , vm−1 линейно не-
зависимы, то отсюда следует, что для всех i, 1 ≤ i ≤ m − 1 коэффици-
енты γi λi − βi должны быть равны нулю. Вспоминая, что γi = βi λ−1
                                                                m ,
приходим к равенствам

                                βi λ−1
                                    m λi − βi = 0,


или
                                   βi λi = βi λm .

Выберем тот индекс j, для которого βj ̸= 0. Тогда соответствующее
равенство можно разделить на βj . В результате получим, что

                                     λj = λm ,

где j < m. Но это противоречит условиям теоремы. Следовательно,
предположение о линейной зависимости векторов v1 , . . . , vm приводит к
противоречию.

Определение 1.4.4. Пусть дан линейный оператор f : V → V . Гово-
рят, что он является диагонализируемым, если существует базис про-
странства V , состоящий из собственных векторов оператора f .

   Матрица диагонализируемого оператора f в этом базисе имеет вид:
                                       
                         λ 0 ... 0
                        1              
                        0 λ ... 0 
                             2         
                        . . .        . 
                        .. ..   . . .. 
                                       
                          0 0 . . . λn

При этом χf (t) = (−1)n (t − λ1 ) . . . (t − λn ), λ1 , . . . , λn — все собственные
значения f (с учетом кратностей).
   Диагонализируемость оператора f равносильна тому, что для любой
его матрицы A (матрицы в произвольно выбранном базисе) существует

                                         40

Страницы