Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

невырожденная матрица B такая, что B
−1
AB является диагональной
матрицей.
Определение 1.4.5. Пусть дан линейный оператор f : V → V . Мно-
жество всех его собственных значений называется спектром оператора
f. Говорят, что оператор f имеет простой спектр, если количество
различных собственных значений f равно размерности пространства
V .
Теорема 1.4.3. Линейный оператор, имеющий простой спектр, диа-
гонализируем.
Доказательство. Пусть n = dim(V ), и λ
1
, . . . , λ
n
— все различные
собственные значения оператора f : V → V . Тогда в каждом из подпро-
странств V
λ
j
найдется по ненулевому вектору v
j
, 1 ≤ j ≤ n (если λ
j
есть собственное значение f, то V
λ
j
̸= {0} по определению собственного
вектора). Согласно предыдущей теореме множество векторов v
1
, . . . , v
n
является линейно независимым. Но так как количество этих линейно не-
зависимых векторов равно размерности пространства V , то эти вектора
образуют базис V , причем базис, состоящий из собственных векторов,
что и требовалось доказать.
Лемма 1.4.4. Пусть f : V → V — линейный оператор, и λ
1
, . . . , λ
m
— его различные собственные значения. Тогда сумма подпространств
V
λ
1
+ · · · + V
λ
m
является прямой суммой.
Доказательство. Пусть v ∈ V
λ
1
+· · ·+V
λ
m
. Допустим, что имеется
два представления v в виде:
v = v
1
+ · · · + v
m
= v
′
1
+ · · · + v
′
m
,
где v
i
, v
′
i
∈ V
λ
i
для каждого i. Допустим, что v
i
1
̸= v
′
i
1
, . . . , v
i
k
̸= v
′
i
k
, и
v
j
= v
′
j
для прочих индексов j. Тогда
0 = v − v = (v
i
1
− v
′
i
1
) + · · · + (v
i
k
− v
′
i
k
).
41
невырожденная матрица B такая, что B −1 AB является диагональной
матрицей.
Определение 1.4.5. Пусть дан линейный оператор f : V → V . Мно-
жество всех его собственных значений называется спектром оператора
f . Говорят, что оператор f имеет простой спектр, если количество
различных собственных значений f равно размерности пространства
V.
Теорема 1.4.3. Линейный оператор, имеющий простой спектр, диа-
гонализируем.
     Доказательство. Пусть n = dim(V ), и λ1 , . . . , λn — все различные
собственные значения оператора f : V → V . Тогда в каждом из подпро-
странств V λj найдется по ненулевому вектору vj , 1 ≤ j ≤ n (если λj
есть собственное значение f , то V λj ̸= {0} по определению собственного
вектора). Согласно предыдущей теореме множество векторов v1 , . . . , vn
является линейно независимым. Но так как количество этих линейно не-
зависимых векторов равно размерности пространства V , то эти вектора
образуют базис V , причем базис, состоящий из собственных векторов,
что и требовалось доказать.
Лемма 1.4.4. Пусть f : V → V — линейный оператор, и λ1 , . . . , λm
— его различные собственные значения. Тогда сумма подпространств
V λ1 + · · · + V λm является прямой суммой.
     Доказательство. Пусть v ∈ V λ1 +· · ·+V λm . Допустим, что имеется
два представления v в виде:

                       v = v1 + · · · + vm = v1′ + · · · + vm
                                                            ′
                                                              ,

где vi , vi′ ∈ V λi для каждого i. Допустим, что vi1 ̸= vi′1 , . . . , vik ̸= vi′k , и
vj = vj′ для прочих индексов j. Тогда

                   0 = v − v = (vi1 − vi′1 ) + · · · + (vik − vi′k ).

                                          41

Страницы