Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
i
= dim(V
λ
i
) для всех i (если n
i
< dim(V
λ
i
) хотя бы для одного i, то
n ≥ dim(V
λ
1
) + · · · + dim(V
λ
m
) > n
1
+ · · · + n
m
= n.).
Равенства n
i
= dim(V
λ
i
) означают, ввиду
⟨v
n
1
+···+n
i−1
+1
, . . . , v
n
1
+···+n
i−1
+v
n
i
⟩ ⊆ V
λ
i
, что это вклю-
чение является равенством и, таким образом, векторы
v
n
1
+···+n
i−1
+1
, . . . , v
n
1
+···+n
i−1
+v
n
i
являются базисом подпространства
V
λ
i
. Так как
m
∪
i=1
{v
n
1
+···+n
i−1
+1
, . . . , v
n
1
+···+n
i−1
+v
n
i
} = {v
1
, . . . , v
n
} есть
базис V , то V = V
λ
1
⊕ · · · ⊕ V
λ
m
.
2) =⇒ 1) следует из известного свойства базиса прямой суммы (см.
теорему 3.1.5), так как, выбрав базис в каждом из прямых слагаемых
V
λ
1
, . . . , V
λ
m
, мы получим базис пространства V , состоящий по постро-
ению из собственных векторов.
2) =⇒ 3). Если V = V
λ
1
⊕ · · · ⊕ V
λ
m
, то согласно известному свойству
размерности прямой суммы dim(V ) = dim(V
λ
1
) + · · · + dim(V
λ
m
).
3) =⇒ 2). По лемме 1.4.4 сумма подпространств V
′
= V
λ
1
+ · · · + V
λ
m
является прямой суммой. Отсюда следует, что dim(V
′
) = dim(V
λ
1
) +
· · · + dim(V
λ
m
). Но тогда, согласно условию 3), dim(V ) = dim(V
′
). Так
как V
′
есть подпространство пространства V , отсюда следует, что V =
V
′
= V
λ
1
⊕ · · · ⊕ V
λ
m
.
1.5. Инвариантные подпространства
Определение 1.5.1. Пусть дан линейный оператор f : V → V . Под-
пространство U пространства V называется инвариантным относи-
тельно f (или инвариантным подпространством оператора f), если
для каждого вектора u ∈ U имеет место включение f(u) ∈ U.
Это свойство записывается также в виде f(U) ⊆ U. В этом случае
f|
U
есть линейный оператор, действующий из U в U.
43
ni = dim(V λi ) для всех i (если ni < dim(V λi ) хотя бы для одного i, то
n ≥ dim(V λ1 ) + · · · + dim(V λm ) > n1 + · · · + nm = n.).
    Равенства               ni            =               dim(V λi )       означают,      ввиду
⟨vn1 +···+ni−1 +1 , . . . , vn1 +···+ni−1 +vni ⟩          ⊆       V λi ,   что    это     вклю-
чение        является            равенством           и,       таким       образом,     векторы
vn1 +···+ni−1 +1 , . . . , vn1 +···+ni−1 +vni      являются       базисом     подпространства
                       m
V λi . Так как ∪ {vn1 +···+ni−1 +1 , . . . , vn1 +···+ni−1 +vni } = {v1 , . . . , vn } есть
                      i=1
базис V , то V = V λ1 ⊕ · · · ⊕ V λm .
    2) =⇒ 1) следует из известного свойства базиса прямой суммы (см.
теорему 3.1.5), так как, выбрав базис в каждом из прямых слагаемых
V λ1 , . . . , V λm , мы получим базис пространства V , состоящий по постро-
ению из собственных векторов.
    2) =⇒ 3). Если V = V λ1 ⊕ · · · ⊕ V λm , то согласно известному свойству
размерности прямой суммы dim(V ) = dim(V λ1 ) + · · · + dim(V λm ).
    3) =⇒ 2). По лемме 1.4.4 сумма подпространств V ′ = V λ1 + · · · + V λm
является прямой суммой. Отсюда следует, что dim(V ′ ) = dim(V λ1 ) +
· · · + dim(V λm ). Но тогда, согласно условию 3), dim(V ) = dim(V ′ ). Так
как V ′ есть подпространство пространства V , отсюда следует, что V =
V ′ = V λ 1 ⊕ · · · ⊕ V λm .



                     1.5. Инвариантные подпространства

Определение 1.5.1. Пусть дан линейный оператор f : V → V . Под-
пространство U пространства V называется инвариантным относи-
тельно f (или инвариантным подпространством оператора f ), если
для каждого вектора u ∈ U имеет место включение f (u) ∈ U .

    Это свойство записывается также в виде f (U ) ⊆ U . В этом случае
f |U есть линейный оператор, действующий из U в U .

                                                     43

Страницы