Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

При этом блок A
1,1
есть m × m-матрица, и является матрицей огра-
ничения f на подпространство U в базисе v
1
, . . . , v
m
.
Обратно, если матрица оператора f в некотором базисе
v
1
, . . . , v
m
, v
m+1
, . . . , v
n
имеет вид (1.5.1) и A
1,1
есть блок размером
m × m, то подпространство ⟨v
1
, . . . , v
m
⟩ инвариантно относитель-
но f.
Доказательство. Из того, что подпространство U = ⟨v
1
, . . . , v
m
⟩
инвариантно относительно f, следует, что f(v
j
) =
m
∑
k=1
a
k,j
v
k
при 1 ≤
j ≤ m. В то же время при j > m должны выполняться равенства:
f(v
j
) =
m
∑
k=1
a
k,j
v
k
+
n
∑
k=m+1
a
k,j
v
k
. Если записать полученную таким обра-
зом матрицу оператора f, то получится матрица вида:
(
A
1,1
A
1,2
0 A
2,2
)
При этом матрица A
1,1
имеет размер m × m, и состоит из элементов
a
k,j
, где 1 ≤ k, j ≤ m. По определению матрицы линейного оператора
f|
U
: U → U, вычисленной в базисе v
1
, . . . , v
m
, эта матрица совпадает с
A
1,1
. Матрица A
1,2
имеет размер m×(n−m), и состоит из элементов a
k,j
,
где 1 ≤ k ≤ m, m+1 ≤ j ≤ n, матрица A
2,2
имеет размер (n−m)×(n−m),
и состоит из элементов a
k,j
, где m + 1 ≤ k, j ≤ n.
Обратно, пусть в некотором базисе v
1
, . . . , v
m
, v
m+1
, . . . , v
n
матрица
оператора f имеет вид (1.5.1), причем блок A
1,1
— это матрица разме-
ром m × m. Так как в матрице (1.5.1) в левом нижнем углу стоит блок
из нулей, то для базисных элементов v
1
, . . . , v
m
должны выполняться
равенства: f(v
j
) =
m
∑
k=1
a
k,j
v
k
. Если U = ⟨v
1
, ⟨, v
m
⟩, то f(v
j
) ∈ U для
всех j. По предыдущей лемме отсюда следует, что подпространство U
инвариантно относительно f.
Теорема 1.5.2. Пусть f : V → V — линейный оператор, и V =
45
При этом блок A1,1 есть m × m-матрица, и является матрицей огра-
ничения f на подпространство U в базисе v1 , . . . , vm .
   Обратно, если матрица оператора f                  в некотором базисе
v1 , . . . , vm , vm+1 , . . . , vn имеет вид (1.5.1) и A1,1 есть блок размером
m × m, то подпространство ⟨v1 , . . . , vm ⟩ инвариантно относитель-
но f .

  Доказательство. Из того, что подпространство U = ⟨v1 , . . . , vm ⟩
                                                    ∑
                                                    m
инвариантно относительно f , следует, что f (vj ) =   ak,j vk при 1 ≤
                                                           k=1
j ≤ m. В то же время при j > m должны выполняться равенства:
          ∑
          m           ∑
                      n
f (vj ) =   ak,j vk +   ak,j vk . Если записать полученную таким обра-
         k=1         k=m+1
зом матрицу оператора f , то получится матрица вида:
                            (           )
                              A1,1 A1,2
                                    0    A2,2

При этом матрица A1,1 имеет размер m × m, и состоит из элементов
ak,j , где 1 ≤ k, j ≤ m. По определению матрицы линейного оператора
f |U : U → U , вычисленной в базисе v1 , . . . , vm , эта матрица совпадает с
A1,1 . Матрица A1,2 имеет размер m×(n−m), и состоит из элементов ak,j ,
где 1 ≤ k ≤ m, m+1 ≤ j ≤ n, матрица A2,2 имеет размер (n−m)×(n−m),
и состоит из элементов ak,j , где m + 1 ≤ k, j ≤ n.
   Обратно, пусть в некотором базисе v1 , . . . , vm , vm+1 , . . . , vn матрица
оператора f имеет вид (1.5.1), причем блок A1,1 — это матрица разме-
ром m × m. Так как в матрице (1.5.1) в левом нижнем углу стоит блок
из нулей, то для базисных элементов v1 , . . . , vm должны выполняться
                     ∑
                     m
равенства: f (vj ) =   ak,j vk . Если U = ⟨v1 , ⟨, vm ⟩, то f (vj ) ∈ U для
                      k=1
всех j. По предыдущей лемме отсюда следует, что подпространство U
инвариантно относительно f .

Теорема 1.5.2. Пусть f : V → V — линейный оператор, и V =

                                        45

Страницы