Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

⟨v
i,1
, . . . , v
i,n
i
⟩. Тогда из (1.5.3) следует, что f(v
i,j
) ∈ V
i
для всех i и
j. Это означает, что подпространствва V
i
инвариантны относительно
f для всех i (лемма 1.5.1). По самому построению сумма этих подпро-
странств является прямой (материал первого семестра; см. также тео-
рему 3.1.5 в третьей главе) и совпадает со всем пространством V .
Снова рассмотрим линейный оператор f : V → V , и разложение
V = V
1
⊕· · ·⊕V
m
в прямую сумму инвариантных подпространств. Тогда
f
i
= f|
V
i
есть линейный оператор f
i
: V
i
→ V
i
, и если, как в предыдущей
теореме, в каждом пространстве V
i
заданы базисы {v
i,1
, . . . , v
i,n
i
}, то
матрицы A
i
из (1.5.1) являются матрицами операторов f
i
в указанных
базисах.
Легко убедиться, что набор операторов f
1
, . . . , f
m
полностью опре-
деляет оператор f. Чтобы проверить это, запишем произвольный век-
тор v ∈ V в виде v = v
1
+ · · · + v
m
, где v
i
∈ V
i
для каждого i,
1 ≤ i ≤ m. Из определения прямой суммы следует, что такую запись
можно осуществить только одним способом. Применяя оператор f, по-
лучаем f(v) = f(v
1
)+· · ·+f(v
m
). Но так как V
i
инвариантны, то для всех
i будем иметь f(v
i
) ∈ V
i
, и, более того, f(v
i
) = f
i
(v
i
). Таким образом,
f(v) = f
1
(v
1
) + · · · + f
m
(v
m
) (1.5.4)
Из этого соотношения следует, что если известны f
1
, . . . , f
m
, то известен
и f.
Обратно, пусть дано какое-то разложение пространства V в прямую
сумму V = V
1
⊕ · · · ⊕ V
m
, и для всех i, 1 ≤ i ≤ m, заданы линейные
операторы f
i
: V
i
→ V
i
. Тогда можно построить линейный оператор
f : V → V по формуле (1.5.4). Нетрудно убедиться, что все подпро-
странства V
i
будут инвариантными относительно f, и f|
V
i
= f
i
для
каждого i.
Построенный таким образом линейный оператор f называется пря-
47
⟨vi,1 , . . . , vi,ni ⟩. Тогда из (1.5.3) следует, что f (vi,j ) ∈ Vi для всех i и
j. Это означает, что подпространствва Vi инвариантны относительно
f для всех i (лемма 1.5.1). По самому построению сумма этих подпро-
странств является прямой (материал первого семестра; см. также тео-
рему 3.1.5 в третьей главе) и совпадает со всем пространством V .
   Снова рассмотрим линейный оператор f : V → V , и разложение
V = V1 ⊕· · ·⊕Vm в прямую сумму инвариантных подпространств. Тогда
fi = f |Vi есть линейный оператор fi : Vi → Vi , и если, как в предыдущей
теореме, в каждом пространстве Vi заданы базисы {vi,1 , . . . , vi,ni }, то
матрицы Ai из (1.5.1) являются матрицами операторов fi в указанных
базисах.
   Легко убедиться, что набор операторов f1 , . . . , fm полностью опре-
деляет оператор f . Чтобы проверить это, запишем произвольный век-
тор v ∈ V в виде v = v1 + · · · + vm , где vi ∈ Vi для каждого i,
1 ≤ i ≤ m. Из определения прямой суммы следует, что такую запись
можно осуществить только одним способом. Применяя оператор f , по-
лучаем f (v) = f (v1 )+· · ·+f (vm ). Но так как Vi инвариантны, то для всех
i будем иметь f (vi ) ∈ Vi , и, более того, f (vi ) = fi (vi ). Таким образом,

                         f (v) = f1 (v1 ) + · · · + fm (vm )              (1.5.4)

Из этого соотношения следует, что если известны f1 , . . . , fm , то известен
и f.
   Обратно, пусть дано какое-то разложение пространства V в прямую
сумму V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vm , и для всех i, 1 ≤ i ≤ m, заданы линейные
операторы fi : Vi → Vi . Тогда можно построить линейный оператор
f : V → V по формуле (1.5.4). Нетрудно убедиться, что все подпро-
странства Vi будут инвариантными относительно f , и f |Vi = fi для
каждого i.
   Построенный таким образом линейный оператор f называется пря-

                                         47

Страницы