Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

V
1
⊕· · ·⊕V
m
, где каждое V
i
есть инвариантное относительно f подпро-
странство. Выберем в каждом подпространстве V
i
некоторый базис
v
i,1
, . . . , v
i,n
i
, 1 ≤ i ≤ m, Тогда множество
m
∪
i=1
{v
i,1
, . . . , v
i,n
i
} есть базис
всего пространства V , и матрица f в этом базисе имеет следующий
блочно-диагональный вид:
A
1
0 . . . 0
0 A
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . A
m
(1.5.2)
Каждый блок A
i
есть квадратная n
1
×n
i
-матрица, которая является
матрицей ограничения f на подпространство V
i
в базисе v
i,1
, . . . , v
i,n
i
,
1 ≤ i ≤ m.
Обратно, пусть матрицей f в некотором базисе вида
m
∪
i=1
{v
i,1
, . . . , v
i,n
i
} является матрица вида (1.5.2), причем блоки A
i
имеют размер n
i
× n
i
. Тогда все подпространства V
i
= ⟨v
i,1
, . . . , v
i,n
i
⟩
инвариантны относительно f, и V = V
1
⊕ · · · ⊕ V
m
.
Доказательство. Из того, что все подпространства V
i
инвариант-
ны относительно f, следует, что для каждого j имеется включение
f(v
i,j
) ∈ V
i
, а так как V
i
= ⟨v
i,1
, . . . , v
i,n
i
⟩, то
f(v
i,j
) =
n
i
∑
k=1
a
i,k
i,j
v
i,k
(1.5.3)
Матрица A
i
размером n
i
× n
i
, k, j-й элемент которой есть a
i,k
i,j
, есть мат-
рица линейного оператора f|
V
i
: V
i
→ V
i
. Если же рассматривать соотно-
шения (1.5.3) как определение матрицы оператора на всем пространстве
V , и выписать подробно эту матрицу, то это и будет матрица (1.5.2).
Обратно, пусть матрица f имеет вид (1.5.2). Это означает, что
выполняются соотношения (1.5.3) для всех i и j. Положим V
i
=
46
V1 ⊕· · ·⊕Vm , где каждое Vi есть инвариантное относительно f подпро-
странство. Выберем в каждом подпространстве Vi некоторый базис
                                                                m
vi,1 , . . . , vi,ni , 1 ≤ i ≤ m, Тогда множество ∪ {vi,1 , . . . , vi,ni } есть базис
                                                                i=1
всего пространства V , и матрица f в этом базисе имеет следующий
блочно-диагональный вид:
                                                                
                                     A1    0      ...      0
                                                                
                                                                
                                     0    A2 . . .        0     
                                     ..    .. . . .       ..                        (1.5.2)
                                      .     .              .    
                                                                
                                      0    0      . . . Am

Каждый блок Ai есть квадратная n1 × ni -матрица, которая является
матрицей ограничения f на подпространство Vi в базисе vi,1 , . . . , vi,ni ,
1 ≤ i ≤ m.
      Обратно,      пусть       матрицей          f       в      некотором   базисе    вида
m
∪ {vi,1 , . . . , vi,ni } является матрица вида (1.5.2), причем блоки Ai
i=1
имеют размер ni × ni . Тогда все подпространства Vi = ⟨vi,1 , . . . , vi,ni ⟩
инвариантны относительно f , и V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vm .

      Доказательство. Из того, что все подпространства Vi инвариант-
ны относительно f , следует, что для каждого j имеется включение
f (vi,j ) ∈ Vi , а так как Vi = ⟨vi,1 , . . . , vi,ni ⟩, то
                                                 ∑
                                                 ni
                                   f (vi,j ) =          ai,k
                                                         i,j vi,k                     (1.5.3)
                                                 k=1

Матрица Ai размером ni × ni , k, j-й элемент которой есть ai,k
                                                           i,j , есть мат-
рица линейного оператора f |Vi : Vi → Vi . Если же рассматривать соотно-
шения (1.5.3) как определение матрицы оператора на всем пространстве
V , и выписать подробно эту матрицу, то это и будет матрица (1.5.2).
      Обратно, пусть матрица f имеет вид (1.5.2). Это означает, что
выполняются соотношения (1.5.3) для всех i и j. Положим Vi =

                                                 46

Страницы