Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 48 стр.

мой суммой линейных операторов f1 , . . . , fm и обозначается через f =
f1 ⊕ · · · ⊕ fm . Матрицы операторов такого вида в базисах, составленных
из базисов прямых слагаемых Vi , это матрицы вида (1.5.2).

Теорема 1.5.3. Пусть V — векторное пространство над полем C. У
любого линейного оператора f : V → V существует одномерное инва-
риантное подпространство. Если же V — векторное пространство
над R, то каждый линейный оператор f обладает либо одномерным,
либо двумерным инвариантным подпространством.

  Доказательство. В случае, когда V — векторное пространство
над полем C, у характеристического многочлена χf (x) обязательно есть
корень λ ∈ C. Этот корень, как уже известно, является собственным
значением f , и поэтому должен существовать ненулевой вектор v (соб-
ственный вектор) со свойством f (v) = λv. Тогда ⟨v⟩ — одномерное
инвариантное подпространство оператора f .
  Рассмотрим случай векторного пространства над полем действи-
тельных чисел. Коэффициенты многочлена χf (x) теперь будут дейст-
вительными числами, и наличие у χf (x) действительного корня не га-
рантировано. Однако если такой корень имеется, то можно расуждать
так же, как и в комплексном случае, откуда следует существование од-
номерного инвариантного подпространства.
  Допустим теперь, что у многочлена χf (x) нет действительных кор-
ней. Это означает, в частности, что у оператора f нет собственных
значений и собственных векторов. Выберем некоторый базис v1 , . . . , vn
пространства V , и пусть A — матрица оператора f в этом базисе. Та-
                       ∑
                       n
ким образом, f (vj ) =   ak,j vk для всех j, и χf (x) = |A − xE|. Выберем
                      k=1
некоторый комплексный корень λ = α + iβ этого многочлена, рассмат-
риваемого уже как многочлен над полем комплексных чисел. Так как
определитель матрицы (с комплексными компонентами) A − λE равен

                                   48