Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

0, а это означает, что определитель |A − αE| равен нулю. Но тогда α
является действительным корнем χ
f
(x) = |A − xE|, что противоречит
сделанному выше предположению.
Допустим, что η = 0. Тогда ξ ̸= 0, и из Aξ = αξ − βη получим
Aξ = αξ. Таким образом, ξ оказывается ненулевым решением системы
уравнений (A−αE)z = 0, а это снова влечет, что α есть действительный
корень χ
f
(x).
Теперь предположим, что η = γξ для некоторого действительного
числа γ. Так как уже показано, что столбцы ξ и η ненулевые, то γ ̸= 0.
Теперь из Aη = βξ + αη следует
Aη = (βγ + α)η.
Отсюда, как и выше, делаем вывод, что η есть ненулевое решение сис-
темы уравнений (A−(βγ +α)E)z = 0, а это означает, что определитель
матрицы A − (βγ + α)E равен нулю. Поэтому действительное число
βγ + α является корнем многочлена χ
f
(x) = |A − xE|, а это противо-
речит сделанному предположению о том, что действительных корней
нет.
Рассмотрим векторы u = ξ
1
v
1
+ · · · + ξ
n
v
n
и w = η
1
v
1
+ · · · + η
n
v
n
, и
выясним, как выглядят векторы f(u) и f(w). Используем теорему 1.2.2
(равенство (1.2.3)). Согласно этой теореме, координатами вектора f(u)
в базисе v
1
, . . . , v
n
являются компоненты столбца Aξ = αξ − βη. Таким
образом, f(u) есть вектор
(αξ
1
− βη
1
)v
1
+ · · · + (αξ
n
− βη
n
)v
n
=
α(ξ
1
v
1
+ · · · + ξ
n
v
n
) − β(η
1
v
1
+ · · · + η
n
v
n
) = αu − βw.
Точно так же получаем равенство f(w) = βu+αw. Рассмотрим подпро-
странство ⟨u, w⟩. Векторы u и w ненулевые (иначе были бы нулевыми
столбцы их координат ξ, η), и не пропорциональны (иначе пропорцио-
нальными были бы столбцы их координат, а выше было показано, что
50
0, а это означает, что определитель |A − αE| равен нулю. Но тогда α
является действительным корнем χf (x) = |A − xE|, что противоречит
сделанному выше предположению.
  Допустим, что η = 0. Тогда ξ ̸= 0, и из Aξ = αξ − βη получим
Aξ = αξ. Таким образом, ξ оказывается ненулевым решением системы
уравнений (A−αE)z = 0, а это снова влечет, что α есть действительный
корень χf (x).
  Теперь предположим, что η = γξ для некоторого действительного
числа γ. Так как уже показано, что столбцы ξ и η ненулевые, то γ ̸= 0.
Теперь из Aη = βξ + αη следует

                               Aη = (βγ + α)η.

Отсюда, как и выше, делаем вывод, что η есть ненулевое решение сис-
темы уравнений (A − (βγ + α)E)z = 0, а это означает, что определитель
матрицы A − (βγ + α)E равен нулю. Поэтому действительное число
βγ + α является корнем многочлена χf (x) = |A − xE|, а это противо-
речит сделанному предположению о том, что действительных корней
нет.
  Рассмотрим векторы u = ξ1 v1 + · · · + ξn vn и w = η1 v1 + · · · + ηn vn , и
выясним, как выглядят векторы f (u) и f (w). Используем теорему 1.2.2
(равенство (1.2.3)). Согласно этой теореме, координатами вектора f (u)
в базисе v1 , . . . , vn являются компоненты столбца Aξ = αξ − βη. Таким
образом, f (u) есть вектор
       (αξ1 − βη1 )v1 + · · · + (αξn − βηn )vn =
            α(ξ1 v1 + · · · + ξn vn ) − β(η1 v1 + · · · + ηn vn ) = αu − βw.
Точно так же получаем равенство f (w) = βu + αw. Рассмотрим подпро-
странство ⟨u, w⟩. Векторы u и w ненулевые (иначе были бы нулевыми
столбцы их координат ξ, η), и не пропорциональны (иначе пропорцио-
нальными были бы столбцы их координат, а выше было показано, что

                                       50

Страницы