Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 51 стр.

это не так). Следовательно, эти векторы линейно независимы, и подпро-
странство ⟨u, w⟩ двумерно. Из равенств f (u) = αu−βw и f (w) = βu+αw
и из леммы 1.5.1 следует, что это подпространство является инвариант-
ным относительно оператора f .




    1.6. Векторные пространства линейных отображений

  Для доказательства более глубоких теорем об инвариантных подпро-
странствах будут необходимы некоторые сведения о структуре множес-
тва всех линейных отображений из одного пространства в другое.

Определение 1.6.1. Множество всех линейных отображений из неко-
торого множества X в вектороное пространство W будем обозначать
через Map(X, W ) (в литературе можно встретить и другие обозначе-
ния, например, W X ).

Лемма 1.6.1. Множество Map(X, W ) обладает структурой вектор-
ного пространства над тем же полем K, над которым определено
и пространство W . При этом операции в пространстве Map(X, W )
определяются следующим образом:

            (f + g)(x) = f (x) + g(x),   (αf )(x) = αf (x).

  Доказательство. Поясним обозначения. Пусть f и g — произволь-
ные отображения из X в W . Через f + g обозначается новое отображе-
ние, которое переводит элемент x ∈ X в вектор f (x) + g(x) ∈ W . Если
α ∈ K, то через αf обозначается новое отображение, которое переводит
элемент x в вектор αf (x) ∈ W , то есть в произведение элемента поля α
на вектор f (x). Проверим, что эти операции превращают Map(X, W ) в
векторное пространство над полем K.

                                   51