Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 53 стр.

и ее можно обозначить символом 0. Это общепринятое обозначение, но
надо иметь в виду, что одним и тем же символом ”0” будет обозначаться
нулевой элемент поля K, нулевой вектор векторного пространства W ,
и нулевая функция, то есть отображение из X в W , обозначаемое тем
же символом 0, и такое, что 0(x) = 0, где справа от знака равенства
стоит нулевой вектор пространства W . В каком значении употребляется
символ ”0” в той или иной конкретной ситуации, должно быть видно из
контекста.
  Покажем теперь, что у каждого элемента f ∈ Map(X, W ) есть об-
ратный по сложению элемент. Определим отображение −f , полагая
(−f )(x) = −f (x). Слева −f есть символ, обозначающий некоторое но-
вое отображение, а справа −f (x) ∈ W усть вектор из пространства
W , обратный по сложению к вектору f (x). Проверим, что f + (−f ) =
(−f ) + f = 0. Для какого угодно x ∈ X получаем:

(f +(−f ))(x) = f (x)+(−f )(x) = f (x)+(−f (x)) = f (x)−f (x) = 0 = 0(x),

и точно так же ((−f ) + f )(x) = 0 = 0(x).
  Теперь займемся операцией αf , где α ∈ K, f ∈ Map(X, W ). Во-
первых, заметим, что −f = (−1)f , так как для произвольного x ∈ X
по определению имеются равенства: (−f )(x) = −f (x) = (−1)f (x) =
((−1)f )(x). Равенство функций (αβ)f = α(βf ) следует из того, что

      ((αβ)f )(x) = (αβ)f (x) = α(βf (x)) = α(βf )(x) = (α(βf ))(x).

Равенство функций (α + β)f = (αf ) + (βf ) следует из того, что

((α+β)f )(x) = (α+β)f (x) = αf (x)+βf (x) = (αf )(x)+(βf )(x) = (αf +βf )(x).

Равенство α(f + g) = αf + αg следует из того, что
         (α(f + g))(x) = α(f + g)(x) = α(f (x) + g(x)) =
                          αf (x) + αg(x) = (αf )(x) + (αg)(x) =
                          (αf + αg)(x).

                                    53