Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

по формуле: h(v) = αf(v) + βg(v). Покажем, что это отображение ли-
нейно. Пусть v
1
, v
2
∈ V , λ
1
, λ
2
∈ K. Тогда
h(λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
) = αf(λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
) + βg(λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
) =
α(λ
1
f(v
1
) + λ
2
f(v
2
)) + β(λ
1
g(v
1
) + λ
2
g(v
2
)) =
λ
1
(αf(v
1
) + βg(v
1
)) + λ
2
(αf(v
2
) + βg(v
2
)) =
λ
1
h(v
1
) + λ
2
h(v
2
).
То, что h = αf + βg ∈ L(V, W ), и означает, что L(V, W ) есть векторное
подпространство пространства Map(V, W ).
Выберем в пространствах V и W базисы v
1
, . . . , v
n
и w
1
, . . . , w
m
. Рас-
смотрим f, g ∈ L(V, W ), α, β ∈ K, и покажем, что сопоставление линей-
ному отображению его матрицы (вычисленной в данных фиксирован-
ных базисах) f 7→ M
f
есть линейное отображение. Таким образом, надо
доказать равенство M
αf+βg
= αM
f
+ βM
g
.
Положим A = (a
i,j
) = M
f
, B = (b
i,j
) = M
g
. По определению,
f(v
j
) =
m
∑
i=1
a
i,j
w
i
, g(v
j
) =
m
∑
i=1
b
i,j
w
i
.
Отсюда
(αf + βg)(v
j
) = αf(v
j
) + βg(v
j
) =
m
∑
i=1
(αa
i,j
+ βb
i,j
)w
i
.
Отсюда сразу следует, что матрицей линейного отображения αf + βg
будет матрица αA + βB. Поскольку уже известно, что соответствие
f 7→ M
f
есть биекция, то из доказаного следует, что это соответствие
есть изоморфизм векторных пространств.
Теперь рассмотрим три векторных пространства V, W, U. Пусть
f, f
1
, f
2
∈ L(V, W ), g, g
1
, g
2
∈ L(W, U), α
1
, α
2
, β
1
, β
2
∈ K. Определены
суперпозиции отображений вида gf
i
, fg
i
и т.п., и это также линей-
ные отображения. Покажем, что g(α
1
f
1
+ α
2
f
2
) = α
1
(gf
1
) + α
2
(gf
2
) и
55
по формуле: h(v) = αf (v) + βg(v). Покажем, что это отображение ли-
нейно. Пусть v1 , v2 ∈ V , λ1 , λ2 ∈ K. Тогда

     h(λ1 v1 + λ2 v2 ) = αf (λ1 v1 + λ2 v2 ) + βg(λ1 v1 + λ2 v2 ) =
                         α(λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 )) + β(λ1 g(v1 ) + λ2 g(v2 )) =
                         λ1 (αf (v1 ) + βg(v1 )) + λ2 (αf (v2 ) + βg(v2 )) =
                         λ1 h(v1 ) + λ2 h(v2 ).

То, что h = αf + βg ∈ L(V, W ), и означает, что L(V, W ) есть векторное
подпространство пространства Map(V, W ).
   Выберем в пространствах V и W базисы v1 , . . . , vn и w1 , . . . , wm . Рас-
смотрим f, g ∈ L(V, W ), α, β ∈ K, и покажем, что сопоставление линей-
ному отображению его матрицы (вычисленной в данных фиксирован-
ных базисах) f 7→ Mf есть линейное отображение. Таким образом, надо
доказать равенство Mαf +βg = αMf + βMg .
   Положим A = (ai,j ) = Mf , B = (bi,j ) = Mg . По определению,
                               ∑
                               m                                 ∑
                                                                 m
                   f (vj ) =         ai,j wi ,        g(vj ) =         bi,j wi .
                               i=1                               i=1

Отсюда
                                                            ∑
                                                            m
          (αf + βg)(vj ) = αf (vj ) + βg(vj ) =                    (αai,j + βbi,j )wi .
                                                             i=1

Отсюда сразу следует, что матрицей линейного отображения αf + βg
будет матрица αA + βB. Поскольку уже известно, что соответствие
f 7→ Mf есть биекция, то из доказаного следует, что это соответствие
есть изоморфизм векторных пространств.
   Теперь рассмотрим три векторных пространства V, W, U . Пусть
f, f1 , f2 ∈ L(V, W ), g, g1 , g2 ∈ L(W, U ), α1 , α2 , β1 , β2 ∈ K. Определены
суперпозиции отображений вида gfi , f gi и т.п., и это также линей-
ные отображения. Покажем, что g(α1 f1 + α2 f2 ) = α1 (gf1 ) + α2 (gf2 ) и

                                                 55

Страницы