Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 54 стр.

Остается убедиться, что 1f = f и 0f = 0. Проверка первого из этих
равенств тривиальна: (1f )(x) = 1 · f (x) = f (x). Во втором надо иметь в
виду, что в выражении 0f символ 0 обозначает элемент поля K, а справ
от знака равенства стоит символ 0, обозначающий нулевую функцию
(нулевое отображение). Проверка такова: (0f )(x) = 0 · f (x) = 0 = 0(x).
Здесь символ 0 появляется еще в одном значении, как нулевой вектор
пространства W .

Определение 1.6.2. Множество всех линейных отображений из век-
торного пространства V в векторное пространство W (над одним и тем
же полем K) обозначается через L(V, W ). Если V = W , то это множест-
во обозначается также через L(V ). Если W = K, то множество L(V, K)
обозначается через V ∗ , и называется пространством, двойственным
(или сопряженным) к пространству V .

     Отметим, что L(V, W ) ⊂ Map(V, W ) (справа — множество всех, а не
только линейных, отображений из V в W ).

Теорема 1.6.1. Множество L(V, W ) есть векторное подпростран-
ство векторного пространства Map(X, W ). При любом выборе ба-
зисов в V и W взаимно-однозначное соответствие между L(V, W )
и Mm,n (K) оказывается изоморфизмом векторных пространств. Ес-
ли W = V , то суперпозиция линейных операторов определяет на
L(V ) = L(V, V ) структуру ассоциативного кольца с единицей, изо-
морфного кольцу квадратных матриц Mn (K). Этот изоморфизм одно-
временно является изоморфизмом векторных пространств над полем
K.

     Доказательство. Проверим, что L(V, W ) есть векторное подпро-
странство векторного пространства Map(V, W ). Пусть f, g : V → W —
линейные отображения, и α, β ∈ K. Определим отображение h : V → W

                                   54