Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 52 стр.

  Необходимо проверить аксиомы, определяющие векторное простран-
ство. Все проверки производятся по одной схеме. А именно, каждый
раз необходимо установить равенство двух функций, а для этого на-
до убедиться, что значения этих функций совпадают при любом зна-
чении аргумента x ∈ X. Например, если мы проверяем равенство
(f +g)+h = f +(g+h), то необходимо вычислить значения ((f +g)+h)(x)
и (f + (g + h))(x). Вычисления в данном случае состоят в применении
определений. С одной стороны,

      ((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = (f (x) + g(x)) + h(x).

С другой стороны,

      (f + (g + h))(x) = f (x) + (g + h)(x) = f (x) + (g(x) + h(x)).

В правых частях этих равенств находятся векторы из векторного про-
странства W , а для векторов справедливо равенство (f (x) + g(x)) +
h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)). Тем самым показано, что значения функций
(f + g) + h и f + (g + h) совпадают для каждого значения аргумента
x ∈ X, но это равносильно тому, что (f + g) + h = f + (g + h).
  Аналогично проверяется коммутативность сложения: для каждого
x∈X
          (f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x)

Отсюда следует, что f + g = g + f . Далее, определим отображение
e : X → W такое, что e(x) = 0 ∈ W для всех x ∈ X. Тогда для каждой
функции f : X → W будем иметь равенства:

              (f + e)(x) = f (x) + e(x) = f (x) + 0 = f (x),
              (e + f )(x) = e(x) + f (x) = 0 + f (x) = f (x).

Отсюда следует, что f + e = f = e + f . Таким образом, функция e
играет роль нулевого элемента для операции сложения в M ap(X, W ),

                                    52