Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(β
1
g
1
+ β
2
g
2
)f = β
1
(g
1
f) + β
2
(g
2
f). Как и выше, необходимо взять произ-
вольный вектор v ∈ V , вычислить значения функций в левых и правых
частях доказываемых равенств для аргумента v, и убедиться, что эти
значения совпадают.
(g(α
1
f
1
+ α
2
f
2
))(v) = g((α
1
f
1
+ α
2
f
2
)(v)) =
g(α
1
f
1
(v) + α
2
f
2
(v)) =
α
1
g(f
1
(v)) + α
2
g(f
2
(v)) =
α
1
(gf
1
)(v) + α
2
(gf
2
)(v) =
(α
1
(gf
1
) + α
2
(gf
2
))(v).
Второе равенство доказывается примерно так же.
Теперь рассмотрим случай V = W . Множество L(V ) = L(V, V ), как
уже показано, есть векторное пространство. Для любых f
1
, f
2
∈ L(V )
определена суперпозиция f
1
f
2
∈ L(V ), причем (f
1
f
2
)f
3
= f
1
(f
2
f
3
). Так
как g(α
1
f
1
+α
2
f
2
) = α
1
(gf
1
)+α
2
(gf
2
) и (β
1
g
1
+β
2
g
2
)f = β
1
(g
1
f)+β
2
(g
2
f),
то отсюда следует, что L(V ) является ассоциативным кольцом с опре-
деленной выше операцией сложения f + g и с операцией умножения —
суперпозицией fg. В этом кольце есть нулевой элемент 0
V
и единица 1
V
(тождественное отображение).
Выберем и зафиксируем базис v
1
, . . . , v
n
в пространстве V , и будем
рассматривать матрицы линейных отображений из L(V ) в этом базисе.
Ранее уже было доказано, что M
fg
= M
f
M
g
, и что матрица тождествен-
ного (единичного) отображения 1
V
: V → V есть единичноая матрица.
Все это означает, что биекция между L(V ) и M
n
(K), которая строится
по данному базису, есть изоморфизм колец.
Из этой теоремы следует, то если dim(V ) = n, dim(W) = m, то
dim(L(V, W )) = dim(M
m,n
(K)) = nm. В частности, dim(V
∗
) = n =
dim(V ). По произвольному базису v
1
, . . . , v
n
пространства V можно по-
строить семейство линейных отображений ν
i
: V → K, 1 ≤ i ≤ n,
56
(β1 g1 + β2 g2 )f = β1 (g1 f ) + β2 (g2 f ). Как и выше, необходимо взять произ-
вольный вектор v ∈ V , вычислить значения функций в левых и правых
частях доказываемых равенств для аргумента v, и убедиться, что эти
значения совпадают.

              (g(α1 f1 + α2 f2 ))(v) = g((α1 f1 + α2 f2 )(v)) =
                                         g(α1 f1 (v) + α2 f2 (v)) =
                                         α1 g(f1 (v)) + α2 g(f2 (v)) =
                                         α1 (gf1 )(v) + α2 (gf2 )(v) =
                                         (α1 (gf1 ) + α2 (gf2 ))(v).

Второе равенство доказывается примерно так же.
   Теперь рассмотрим случай V = W . Множество L(V ) = L(V, V ), как
уже показано, есть векторное пространство. Для любых f1 , f2 ∈ L(V )
определена суперпозиция f1 f2 ∈ L(V ), причем (f1 f2 )f3 = f1 (f2 f3 ). Так
как g(α1 f1 +α2 f2 ) = α1 (gf1 )+α2 (gf2 ) и (β1 g1 +β2 g2 )f = β1 (g1 f )+β2 (g2 f ),
то отсюда следует, что L(V ) является ассоциативным кольцом с опре-
деленной выше операцией сложения f + g и с операцией умножения —
суперпозицией f g. В этом кольце есть нулевой элемент 0V и единица 1V
(тождественное отображение).
   Выберем и зафиксируем базис v1 , . . . , vn в пространстве V , и будем
рассматривать матрицы линейных отображений из L(V ) в этом базисе.
Ранее уже было доказано, что Mf g = Mf Mg , и что матрица тождествен-
ного (единичного) отображения 1V : V → V есть единичноая матрица.
Все это означает, что биекция между L(V ) и Mn (K), которая строится
по данному базису, есть изоморфизм колец.
   Из этой теоремы следует, то если dim(V ) = n, dim(W ) = m, то
dim(L(V, W )) = dim(Mm,n (K)) = nm. В частности, dim(V ∗ ) = n =
dim(V ). По произвольному базису v1 , . . . , vn пространства V можно по-
строить семейство линейных отображений νi : V → K, 1 ≤ i ≤ n,

                                         56

Страницы