Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

значение отображения в правой части доказываемого равенства на век-
торе v
j
равно ξ(v
j
). Проделаем это вычисление:
(
n
∑
i=1
ξ(v
i
)ν
i
)(v
j
) =
n
∑
i=1
ξ(v
i
)ν
i
(v
j
) =
n
∑
i=1
ξ(v
i
)δ
i,j
= ξ(v
j
).
Покажем теперь, что отображения ν
1
, . . . , ν
n
как векторы пространства
V
∗
являются линейно независимыми. Допустим, что некоторая линейная
комбинация этих отображений равна нулю:
n
∑
i=1
α
i
ν
i
= 0.
Покажем, что в этом случае равны нулю все коэффициенты α
i
. Рассмат-
риваемое равенство является равенством двух линейных отображений,
поэтому должны быть равны значения этих отображений при любом
значении аргумента. В частности, для произвольного v
j
получаем:
(
n
∑
i=1
α
i
ν
i
)(v
j
) =
n
∑
i=1
α
i
ν
i
(v
j
) =
n
∑
i=1
α
i
δ
i,j
= α
j
= 0(v
j
) = 0.
Таким образом, выполнены оба свойства из определения базиса про-
странства V
∗
.
Построенный выше базис ν
1
, . . . , ν
n
пространства V
∗
называется ба-
зисом, дуальным к базису v
1
, . . . , v
n
.
Лемма 1.6.3. Пусть φ : V → W — линейное отображение. Тогда
определено линейное отображение φ
∗
: W
∗
→ V
∗
, переводящее ξ ∈ W
∗
в φ
∗
(α) = ξφ.
Тут надо иметь в виду, что φ и ξ — отображения следующего вида:
V
φ
−→ W
ξ
−→ K,
и поэтому суперпозиция ξφ определена.
58
значение отображения в правой части доказываемого равенства на век-
торе vj равно ξ(vj ). Проделаем это вычисление:
              ∑
              n                         ∑
                                        n                        ∑
                                                                 n
          (         ξ(vi )νi )(vj ) =         ξ(vi )νi (vj ) =         ξ(vi )δi,j = ξ(vj ).
              i=1                       i=1                      i=1

Покажем теперь, что отображения ν1 , . . . , νn как векторы пространства
V ∗ являются линейно независимыми. Допустим, что некоторая линейная
комбинация этих отображений равна нулю:
                                          ∑
                                          n
                                                    αi νi = 0.
                                              i=1

Покажем, что в этом случае равны нулю все коэффициенты αi . Рассмат-
риваемое равенство является равенством двух линейных отображений,
поэтому должны быть равны значения этих отображений при любом
значении аргумента. В частности, для произвольного vj получаем:
          ∑n                ∑
                            n               ∑
                                            n
         (   αi νi )(vj ) =   αi νi (vj ) =   αi δi,j = αj = 0(vj ) = 0.
           i=1                   i=1                      i=1

Таким образом, выполнены оба свойства из определения базиса про-
странства V ∗ .
   Построенный выше базис ν1 , . . . , νn пространства V ∗ называется ба-
зисом, дуальным к базису v1 , . . . , vn .

Лемма 1.6.3. Пусть φ : V → W — линейное отображение. Тогда
определено линейное отображение φ∗ : W ∗ → V ∗ , переводящее ξ ∈ W ∗
в φ∗ (α) = ξφ.

   Тут надо иметь в виду, что φ и ξ — отображения следующего вида:
                                               φ          ξ
                                        V −→ W −→ K,

и поэтому суперпозиция ξφ определена.

                                                     58

Страницы