Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 59 стр.

   Доказательство. Необходимо убедиться в том, что φ∗ (λ1 ξ1 +
λ2 ξ2 ) = λ1 φ∗ (ξ1 ) + λ2 φ∗ (ξ2 ) для произвольных λ1 , λ1 ∈ K и ξ1 , ξ2 ∈ W ∗ .
Выписывая явный вид всех входящих в это равенство выражений, по-
лучаем следующее соотношение (именно его и надо установить):

                     (λ1 ξ1 + λ2 ξ2 )φ = λ1 (ξ1 φ) + λ2 (ξ2 φ).

Но это — частный случай равенства, уже полученного при доказатель-
стве теоремы 1.6.1.
   Полагая V = W , получаем, что для каждого линейного оператора
φ : V → V определен линейный оператор φ∗ : V ∗ → V ∗ .



            1.7. Снова инвариантные подпространства

Теорема 1.7.1. Пусть V — векторное пространство размерности n
над полем комплексных чисел, f : V → V — линейный оператор. Тогда
существует подпространство W ⊂ V , инвариантное относительно
f и имеющее размерность n − 1.

   Доказательство. Рассмотрим линейный оператор f ∗ : V ∗ → V ∗ ,
переводящий линейное отображение ξ : V → K в линейное отображение
ξf : V → K. Мы уже знаем, что в случае, когда рассматривается векто-
роное пространство над полем комплексных чисел C, у каждого такого
линейного оператора есть одномерное инвариантное подпространство,
то есть некоторый собственный вектор. Пусть ξ ∈ V ∗ — это такой соб-
ственный вектор, и λ ∈ C — это соответствующее ему собственное
значение. По определению это означает, что ξ ̸= 0, и

                                f ∗ (ξ) = ξf = λξ                         (1.7.1)

Так как ξ ̸= 0, то существует вектор v ∈ V , такой, что ξ(v) = α ̸= 0,
α ∈ K. Но тогда для каждого λ ∈ K получаем равенство λ = ξ(λα−1 v).

                                        59