Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 60 стр.

Это означает, что образ Im(ξ) линейного отображения ξ совпадает с K,
то есть имеет размерность, равную единице. Применяя равенство

                   n = dim(V ) = dim(Ker(ξ)) + dim(Im(ξ)),

получаем, что dim(Ker(ξ)) = n − 1. Осталось убедиться, что подпро-
странство W = Ker(ξ) является инвариантным относительно f . В са-
мом деле, пусть w ∈ W . Чтобы убедиться в том, что f (w) ∈ W , на-
до использовать условие, определяющее подпространство W , а именно,
W = Ker(ξ). Иными словами, f (w) ∈ W тогда и только тогда, если
ξ(f (w)) = 0. Проверим, что это так и есть. Для этого используем ра-
венство (1.7.1):

               ξ(f (w)) = (ξf )(w) = (λξ)(w) = λξ(w) = 0,

так как ξ(w) = 0 ввиду w ∈ W = Ker(ξ). Теорема доказана.
  В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения. Линей-
ные операторы будут обозначаться буквами “рукописного” алфавита
A, B, C, . . . , причем буквой E будт обозначаться тождественный опера-
тор. Далее, там, где жто возможно, будут опускаться скобки при записи
аргумента функции. Например, вместо A(x) будем писать Ax. Если A
— линейный оператор, действующий из V в V , то его образ будет обо-
значаться через AV . Итак, AV = Im(A) = {Av|v ∈ V }. Наконец, если A
есть линейный оператор, обозначенный буквой “рукописного” шрифта,
то через A будет обозначаться его матрица в каком-либо базисе (каком
именно — должно следовать из контекста). То есть матрица обознача-
ется той же буквой, но в “печатном” шрифте. Эти обозначения весьма
распостранены в теории линейных операторов.

Теорема 1.7.2. Пусть V          — векторное пространство над C,
dim(V ) = n, A : V → V — произвольный линейный оператор. Тог-

                                     60