Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

образом, V
j+1
= ⟨v
1
, . . . , v
j
, v
j+1
⟩. В частности, V
n
= ⟨v
1
, . . . , v
n
⟩. Вычис-
лим матрицу A в этом базисе. Поскольку V
j
является инвариантным
подпространством для каждого j = 1, . . . , n. В частности, A v
j
∈ V
j
, то
есть вектор Av
j
есть линейная комбинация векторов v
1
, . . . , v
j
. Отсюда
получим:
Av
1
= a
1,1
v
1
Av
2
= a
1,2
v
1
+ a
2,2
v
2
. . . . . . . . . . . .
Av
j
= a
1,j
v
1
+ a
2,j
v
2
+ · · · + a
j,j
v
j
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Av
n
= a
1,n
v
1
+ a
2,n
v
2
+ · · · + a
j,n
v
j
+ · · · + a
n,n
v
n
(1.7.2)
Таким образом, получилась верхнетреугольная матрица
A =
a
1,1
a
1,2
a
1,3
. . . a
1,n
0 a
2,2
a
2,3
. . . a
2,n
0 0 a
3,3
. . . a
3,n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . a
n,n
Отметим, что если матрица A верхнетреугольна, то на диагонали у
нее располагаются ее собственные значения, и только они.
Тот факт, что пространство всех линейных операторов из V в V
обладает структурой кольца с единицей E, означает, что для каждого
многочлена f(x) = a
0
+ a
1
x + · · · + a
k
x
k
с коэффициентами из K, и для
каждого линейного оператора A определен линейный оператор a
0
E +
a
1
A + · · · + a
k
A
k
, который обозначается через f(A). При этом, если
f(x) = f
1
(x) . . . f
l
(x), то f(A) = f
1
(A) . . . f
l
(A). Если f(x) = f
1
(x)f
2
(x),
то f(A) = f
1
(A)f
2
(A) = f
2
(A)f
1
(A). Кроме того, если f(x) = α
1
f
1
(x) +
α
2
f
2
(x), где α
1
, α
2
∈ K, а f
1
и f
2
— многочлены, то f(A) = α
1
f
1
(A) +
62
образом, Vj+1 = ⟨v1 , . . . , vj , vj+1 ⟩. В частности, Vn = ⟨v1 , . . . , vn ⟩. Вычис-
лим матрицу A в этом базисе. Поскольку Vj является инвариантным
подпространством для каждого j = 1, . . . , n. В частности, Avj ∈ Vj , то
есть вектор Avj есть линейная комбинация векторов v1 , . . . , vj . Отсюда
получим:
           Av1 = a1,1 v1
           Av2 = a1,2 v1 + a2,2 v2
             ...    ...    ...   ...
                                                                               (1.7.2)
           Avj = a1,j v1 + a2,j v2 + · · · + aj,j vj
             ...    ...    ...   ...   ...        ...   ...
           Avn = a1,n v1 + a2,n v2 + · · · + aj,n vj + · · · + an,n vn
Таким образом, получилась верхнетреугольная матрица
                                                 
                        a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n
                                                 
                       0 a2,2 a2,3 . . . a2,n 
                                                 
                                                 
                  A= 0       0 a3,3 . . . a3,n 
                       .          .. . . . .. 
                       ..    ..
                                              . 
                              .    .             
                         0    0    0 . . . an,n


   Отметим, что если матрица A верхнетреугольна, то на диагонали у
нее располагаются ее собственные значения, и только они.
   Тот факт, что пространство всех линейных операторов из V в V
обладает структурой кольца с единицей E, означает, что для каждого
многочлена f (x) = a0 + a1 x + · · · + ak xk с коэффициентами из K, и для
каждого линейного оператора A определен линейный оператор a0 E +
a1 A + · · · + ak Ak , который обозначается через f (A). При этом, если
f (x) = f1 (x) . . . fl (x), то f (A) = f1 (A) . . . fl (A). Если f (x) = f1 (x)f2 (x),
то f (A) = f1 (A)f2 (A) = f2 (A)f1 (A). Кроме того, если f (x) = α1 f1 (x) +
α2 f2 (x), где α1 , α2 ∈ K, а f1 и f2 — многочлены, то f (A) = α1 f1 (A) +

                                             62

Страницы