ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Доказательство леммы. Пусть u ∈ U. Тогда по условию Au ∈ U.
Рассмотрим (A − λE)u = Au − λu. Векторы Au и λu принадлежат
подпространству U, поэтому их разность также принадлежит U.
Доказательство теоремы Гамильтона-Кэли. Рассмотрим инвари-
антные подпространства V
j
= ⟨v
1
, . . . , v
j
⟩, 1 ≤ j ≤ n из теоремы
1.7.2 и следствия 1.7.1. Из (1.7.2) следует, что элементы a
1,1
, . . . , a
n,n
—
это все корни характеристического многочлена χ
A
(x). Точнее, χ
A
(x) =
(−1)
n
(x − a
1,1
)(x − a
2,2
) . . . (x − a
n,n
). Положим h(x) = (x − a
1,1
)(x −
a
2,2
) . . . (x − a
n,n
). Необходимо показать, что линейный оператор h(A) =
(A − a
1,1
E)(A − a
2,2
E) . . . (A − a
n,n
E) является нулевым. Это значит, что
надо проверить равенство h(A)v = 0 для любого вектора v ∈ V . Для
этого (по теореме 1.1.1) достаточно убедиться, что h(A)v
j
= 0 для всех
элементов базиса v
j
.
Из (1.7.2) следует, что
Av
j
−a
j,j
v
j
= (A−a
j,j
E)v
j
= a
1,j
v
1
+· · ·+a
j−1,j
v
j−1
∈ ⟨v
1
, . . . , v
j−1
⟩ = V
j−1
.
Так как (A − a
j,j
E)v
k
∈ V
j−1
при 1 ≤ k ≤ j − 1 (по лемме, вви-
ду инвариантности V
j−1
относительно A − a
j,j
E), то отсюда следует,
что (A − a
j,j
E)v ∈ V
j−1
для каждого v ∈ V
j
. Это можно записать
в виде AV
j
⊆ V
j−1
. Заметим, что при j = 1 из (1.7.2) следует, что
(A − a
1,1
E)v
1
= 0, и поэтому (A − a
1,1
E)v = 0 для каждого v ∈ V
1
= ⟨v
1
⟩.
Рассмотрим h(A)v
j
. Так как h(A) =
n
∏
k=1
(A − a
k,k
E), то h(A)v
j
=
(
j
∏
k=1
(A−a
k,k
E))v, где v = (
n
∏
k=j+1
(A−a
k,k
E))v
j
∈ V
j
(это также следует из
леммы). Поскольку произведение здесь — это суперпозиция линейных
операторов, то вычисление h(A)v будет состоять в последовательном
вычислении w
1
= (A − a
j,j
E)v ∈ V
j−1
, w
2
= (A − a
j−1,j−1
E)w
1
∈ V
j−2
,
w
3
= (A − a
j−2,j−2
E)w
2
∈ V
j−3
, . . . , w
j
= (A − a
1,1
E)w
j−1
= 0.
64
Доказательство леммы. Пусть u ∈ U . Тогда по условию Au ∈ U .
Рассмотрим (A − λE)u = Au − λu. Векторы Au и λu принадлежат
подпространству U , поэтому их разность также принадлежит U .
Доказательство теоремы Гамильтона-Кэли. Рассмотрим инвари-
антные подпространства Vj = ⟨v1 , . . . , vj ⟩, 1 ≤ j ≤ n из теоремы
1.7.2 и следствия 1.7.1. Из (1.7.2) следует, что элементы a1,1 , . . . , an,n —
это все корни характеристического многочлена χA (x). Точнее, χA (x) =
(−1)n (x − a1,1 )(x − a2,2 ) . . . (x − an,n ). Положим h(x) = (x − a1,1 )(x −
a2,2 ) . . . (x − an,n ). Необходимо показать, что линейный оператор h(A) =
(A − a1,1 E)(A − a2,2 E) . . . (A − an,n E) является нулевым. Это значит, что
надо проверить равенство h(A)v = 0 для любого вектора v ∈ V . Для
этого (по теореме 1.1.1) достаточно убедиться, что h(A)vj = 0 для всех
элементов базиса vj .
Из (1.7.2) следует, что
Avj −aj,j vj = (A−aj,j E)vj = a1,j v1 +· · ·+aj−1,j vj−1 ∈ ⟨v1 , . . . , vj−1 ⟩ = Vj−1 .
Так как (A − aj,j E)vk ∈ Vj−1 при 1 ≤ k ≤ j − 1 (по лемме, вви-
ду инвариантности Vj−1 относительно A − aj,j E), то отсюда следует,
что (A − aj,j E)v ∈ Vj−1 для каждого v ∈ Vj . Это можно записать
в виде AVj ⊆ Vj−1 . Заметим, что при j = 1 из (1.7.2) следует, что
(A − a1,1 E)v1 = 0, и поэтому (A − a1,1 E)v = 0 для каждого v ∈ V1 = ⟨v1 ⟩.
∏n
Рассмотрим h(A)vj . Так как h(A) = (A − ak,k E), то h(A)vj =
k=1
∏
j ∏
n
( (A−ak,k E))v, где v = ( (A−ak,k E))vj ∈ Vj (это также следует из
k=1 k=j+1
леммы). Поскольку произведение здесь — это суперпозиция линейных
операторов, то вычисление h(A)v будет состоять в последовательном
вычислении w1 = (A − aj,j E)v ∈ Vj−1 , w2 = (A − aj−1,j−1 E)w1 ∈ Vj−2 ,
w3 = (A − aj−2,j−2 E)w2 ∈ Vj−3 , . . . , wj = (A − a1,1 E)wj−1 = 0.
64
