ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Если проанализировать доказательство теоремы Гамильтона-Кэли,
а также доказательства тех предшествущих теорем, которые в нем ис-
пользуются, то станет ясно, что условие K = C можно заменить на
более слабое условие: характеристический многочлен χ
A
(x) должен рас-
кладываться на линейные множители над полем K.
Следствие 1.7.2. Пусть V — векторное пространство над R, A :
V → V — линейный оператор, χ
A
(x) — его характеристический мно-
гочлен. Тогда χ
A
(A) = 0.
Доказательство основано на том, что, во-первых, можно свести
вопрос о линейном операторе к вопросу о его матрице. Как уже от-
мечено, f(M
A
) = M
f(A)
для любого многочлена f, и поэтому, если A
есть матрица A, то χ
A
(A) = χ
A
(A) есть матрица оператора χ
A
(A), и
она равна нулю тогда и только тогда, если равен нулю оператор сам
χ
A
(A).
Во вторых, матрицу A с действительными компонентами можно
рассматривать как матрицу некоторого оператора, действующего в
n−мерном векторном пространстве над полем комплексных чисел. А
к такому оператору применима доказанная выше теорема Гамильтона-
Кэли.
Существуют другие доказательства теоремы Гамильтона-Кэли, при-
годные для любого поля K. Одно из таких доказательств можно найти в
классической книге Ф.Р. Гантмахера «Теория матриц» [3, с. 87]. Мы ис-
пользуем приведенное выше доказательство потому, что оно, во-первых,
интересно и поучительно само по себе, а во-вторых, другие доказатель-
ства (например, то, которое дано у Гантмахера), потребовали бы на
лекциях дополнительного времени, что при ограниченном количестве
лекций едва ли возможно.
65
Если проанализировать доказательство теоремы Гамильтона-Кэли,
а также доказательства тех предшествущих теорем, которые в нем ис-
пользуются, то станет ясно, что условие K = C можно заменить на
более слабое условие: характеристический многочлен χA (x) должен рас-
кладываться на линейные множители над полем K.
Следствие 1.7.2. Пусть V — векторное пространство над R, A :
V → V — линейный оператор, χA (x) — его характеристический мно-
гочлен. Тогда χA (A) = 0.
Доказательство основано на том, что, во-первых, можно свести
вопрос о линейном операторе к вопросу о его матрице. Как уже от-
мечено, f (MA ) = Mf (A) для любого многочлена f , и поэтому, если A
есть матрица A, то χA (A) = χA (A) есть матрица оператора χA (A), и
она равна нулю тогда и только тогда, если равен нулю оператор сам
χA (A).
Во вторых, матрицу A с действительными компонентами можно
рассматривать как матрицу некоторого оператора, действующего в
n−мерном векторном пространстве над полем комплексных чисел. А
к такому оператору применима доказанная выше теорема Гамильтона-
Кэли.
Существуют другие доказательства теоремы Гамильтона-Кэли, при-
годные для любого поля K. Одно из таких доказательств можно найти в
классической книге Ф.Р. Гантмахера «Теория матриц» [3, с. 87]. Мы ис-
пользуем приведенное выше доказательство потому, что оно, во-первых,
интересно и поучительно само по себе, а во-вторых, другие доказатель-
ства (например, то, которое дано у Гантмахера), потребовали бы на
лекциях дополнительного времени, что при ограниченном количестве
лекций едва ли возможно.
65
