Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 63 стр.

UptoLike

Составители: 

α
2
f
2
(A). Точно таким же образом можно определить многочлены вида
f(A), где A есть квадратная n × n-матрица с компонентами из поля K.
Выполняются те же свойства, что и для f(A). Отсюда следует, что, если
выбран некоторый базис пространства V , и M
A
матрица A в этом
базисе, то для любого многочлена f(x) будет выполняться равенство:
M
f(A)
= f(M
A
).
Ввиду того, что множество линейных операторов является конеч-
номерным векторным пространством, бесконечная последовательность
E, A, A
2
, . . . , A
k
, . . . не может быть линейно независимым множест-
вом. Должна существовать нетривиальная линейная зависимость вида
a
i
1
A
i
1
+ · · · + a
i
m
A
i
m
= 0. Это означает, что найдется ненулевой много-
член f(x) = a
i
1
x
i
1
+ · · · + a
i
m
x
i
m
, такой, что f(A) = 0. Этот многочлен
опредлен далеко не однозначно. Например, если g(x) = f(x)f
1
(x), то и
g(A) = 0 при любом f
1
(x). Описание всей совкупности таких многочле-
нов будет дано в последнем параграфе второй главы. Явный вид для
одного из них дает следующая теорема.
Теорема 1.7.3. (ГамильтонКэли) Пусть V векторное простран-
ство над C,
A : V V линейный оператор, χ
A
(x) его характеристический
многочлен. Тогда χ
A
(A) = 0.
При доказательстве теоремы используется следующая лемма.
Лемма 1.7.1. Пусть A : V V некоторый линейный оператор, и
U V его инвариантное подпространство. Тогда U будет также
инвариантным относительно оператора A λE для любого λ из поля
K.
Заметим, что A = (AλE)(λ)E, так что если подпространство U
инвариантно относительно A λE, то оно инвариантно и относительно
A.
63
α2 f2 (A). Точно таким же образом можно определить многочлены вида
f (A), где A есть квадратная n × n-матрица с компонентами из поля K.
Выполняются те же свойства, что и для f (A). Отсюда следует, что, если
выбран некоторый базис пространства V , и MA — матрица A в этом
базисе, то для любого многочлена f (x) будет выполняться равенство:
Mf (A) = f (MA ).
     Ввиду того, что множество линейных операторов является конеч-
номерным векторным пространством, бесконечная последовательность
E, A, A2 , . . . , Ak , . . . не может быть линейно независимым множест-
вом. Должна существовать нетривиальная линейная зависимость вида
ai1 Ai1 + · · · + aim Aim = 0. Это означает, что найдется ненулевой много-
член f (x) = ai1 xi1 + · · · + aim xim , такой, что f (A) = 0. Этот многочлен
опредлен далеко не однозначно. Например, если g(x) = f (x)f1 (x), то и
g(A) = 0 при любом f1 (x). Описание всей совкупности таких многочле-
нов будет дано в последнем параграфе второй главы. Явный вид для
одного из них дает следующая теорема.
Теорема 1.7.3. (Гамильтон–Кэли) Пусть V — векторное простран-
ство над C,
A : V → V — линейный оператор, χA (x) — его характеристический
многочлен. Тогда χA (A) = 0.
     При доказательстве теоремы используется следующая лемма.
Лемма 1.7.1. Пусть A : V → V — некоторый линейный оператор, и
U ⊆ V — его инвариантное подпространство. Тогда U будет также
инвариантным относительно оператора A − λE для любого λ из поля
K.
     Заметим, что A = (A−λE)−(−λ)E, так что если подпространство U
инвариантно относительно A − λE, то оно инвариантно и относительно
A.

                                     63