Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

да существуют инвариантные относительно A подпространства
V = V
n
⊃ V
n−1
⊃ . . . ⊃ V
j
⊃ . . . ⊃ V
1
⊃ V
0
= {0},
такие, что dim(V
j
) = j для каждого j, 0 ≤ j ≤ n.
Доказательство. Эта теорема легко выводится из предыдущей те-
оремы с учетом следующего замечания. Пусть U ⊆ V — инвариантное
относительно A подпространство, и пусть B = A|
U
: U → U — ограни-
чение A на U. Если подпространство W ⊂ U инвариантно относительно
B, то оно инвариантно и относительно A.
В самом деле, если w ∈ W , то Aw = Bw ∈ W . Первое равенство
имеет место по определению оператора B = A|
U
, а второе — ввиду
инвариантости W относительно B.
Следствие 1.7.1. Для любого линейного оператора A можно вы -
брать базис таким образом, что его матрица в этом базисе будет
иметь верхнетреугольный вид. Иными словами, для любой матрицы
A с элементами из поля C существует невырожденная матрица B
такая, что матрица B
−1
AB является верхнетреугольной.
Доказательство. Рассмотрим инвариантные подпространства, су-
ществование которых гарантирует предыдущая теорема:
V = V
n
⊃ V
n−1
⊃ . . . ⊃ V
j
⊃ . . . ⊃ V
1
⊃ V
0
= {0},
где dim(V
j
) = j для всех j. Выберем базисный вектор v
1
в одномер-
ном подпространстве V
1
. Рассуждая по индукции, предположим, что
уже выбраны векторы v
1
, . . . , v
j
так , что V
1
= ⟨v
1
⟩, V
2
= ⟨v
1
, v
2
⟩, . . . ,
V
j
= ⟨v
1
, . . . , v
j
⟩. Рассмотрим V
j+1
. Подпространство V
j
содержится в
V
j+1
. V
j+1
имеет на единицу большую размерность, чем V
j
, поэтому ба-
зис V
j
можно дополнить одним вектором v
j+1
до базиса V
j+1
. Таким
61
да существуют инвариантные относительно A подпространства

             V = Vn ⊃ Vn−1 ⊃ . . . ⊃ Vj ⊃ . . . ⊃ V1 ⊃ V0 = {0},

такие, что dim(Vj ) = j для каждого j, 0 ≤ j ≤ n.

   Доказательство. Эта теорема легко выводится из предыдущей те-
оремы с учетом следующего замечания. Пусть U ⊆ V — инвариантное
относительно A подпространство, и пусть B = A|U : U → U — ограни-
чение A на U . Если подпространство W ⊂ U инвариантно относительно
B, то оно инвариантно и относительно A.
   В самом деле, если w ∈ W , то Aw = Bw ∈ W . Первое равенство
имеет место по определению оператора B = A|U , а второе — ввиду
инвариантости W относительно B.

Следствие 1.7.1. Для любого линейного оператора A можно вы-
брать базис таким образом, что его матрица в этом базисе будет
иметь верхнетреугольный вид. Иными словами, для любой матрицы
A с элементами из поля C существует невырожденная матрица B
такая, что матрица B −1 AB является верхнетреугольной.

   Доказательство. Рассмотрим инвариантные подпространства, су-
ществование которых гарантирует предыдущая теорема:

             V = Vn ⊃ Vn−1 ⊃ . . . ⊃ Vj ⊃ . . . ⊃ V1 ⊃ V0 = {0},

где dim(Vj ) = j для всех j. Выберем базисный вектор v1 в одномер-
ном подпространстве V1 . Рассуждая по индукции, предположим, что
уже выбраны векторы v1 , . . . , vj так , что V1 = ⟨v1 ⟩, V2 = ⟨v1 , v2 ⟩, . . . ,
Vj = ⟨v1 , . . . , vj ⟩. Рассмотрим Vj+1 . Подпространство Vj содержится в
Vj+1 . Vj+1 имеет на единицу большую размерность, чем Vj , поэтому ба-
зис Vj можно дополнить одним вектором vj+1 до базиса Vj+1 . Таким

                                       61

Страницы