Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

такиих, что ν
i
(v
j
) = δ
i,j
.
Лемма 1.6.2. Семейство ν
1
, . . . , ν
n
является базисом в V
∗
. Для каж-
дого линейного отображения ξ : V → K имеет место равенство:
ξ =
n
∑
i=1
ξ(v
i
)ν
i
Доказательство. Дадим два доказательства первого утверждения.
Первое доказательство использует построенный в предыдущей теореме
изоморфизм между пространствами L(V, K) и M
1,n
(K). Этот изомор-
физм сопоставляет линейному отображению f : V → K его матрицу
M
f
, вычисленную с помощью базиса v
1
, . . . , v
n
пространства V , и ба-
зиса 1 одномерного пространства K. Эта матрица с одной строкой и n
столбцами, т.е. строка (a
1
, . . . , a
n
), где a
j
= f(v
j
) для каждого j (это
сразу следует из определения матрицы линейного отображения). От-
сюда следует, что отображению ν
i
соответствует матрица — строка
e
i
= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), где единица располагается на i-м месте (в i-
м столбце), а на остальных местах располагаются нули. Но элементы
e
1
, . . . , e
n
образуют базис пространства M
1,n
(K). Соответствующие им
при изоморфизме двух пространств элементы ν
1
, . . . , ν
n
поэтому также
являются базисом.
Второе доказательство таково. Покажем сначала, что
ξ =
n
∑
i=1
ξ(v
i
)ν
i
для каждого линейного отображения ξ : V → K. Слева и справа от
знака равенства расположены здесь линейные отображения, а для того,
чтобы доказать равенство двух линейных отображений, достаточно (и
необходимо) показать, что значения этих отображений совпадают на
каждом базисном векторе v
j
. Таким образом, следует убедиться, что
57
такиих, что νi (vj ) = δi,j .

Лемма 1.6.2. Семейство ν1 , . . . , νn является базисом в V ∗ . Для каж-
дого линейного отображения ξ : V → K имеет место равенство:
                                      ∑
                                      n
                                 ξ=         ξ(vi )νi
                                      i=1

   Доказательство. Дадим два доказательства первого утверждения.
Первое доказательство использует построенный в предыдущей теореме
изоморфизм между пространствами L(V, K) и M1,n (K). Этот изомор-
физм сопоставляет линейному отображению f : V → K его матрицу
Mf , вычисленную с помощью базиса v1 , . . . , vn пространства V , и ба-
зиса 1 одномерного пространства K. Эта матрица с одной строкой и n
столбцами, т.е. строка (a1 , . . . , an ), где aj = f (vj ) для каждого j (это
сразу следует из определения матрицы линейного отображения). От-
сюда следует, что отображению νi соответствует матрица — строка
ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), где единица располагается на i-м месте (в i-
м столбце), а на остальных местах располагаются нули. Но элементы
e1 , . . . , en образуют базис пространства M1,n (K). Соответствующие им
при изоморфизме двух пространств элементы ν1 , . . . , νn поэтому также
являются базисом.
   Второе доказательство таково. Покажем сначала, что
                                      ∑
                                      n
                                 ξ=         ξ(vi )νi
                                      i=1

для каждого линейного отображения ξ : V → K. Слева и справа от
знака равенства расположены здесь линейные отображения, а для того,
чтобы доказать равенство двух линейных отображений, достаточно (и
необходимо) показать, что значения этих отображений совпадают на
каждом базисном векторе vj . Таким образом, следует убедиться, что

                                       57

Страницы