Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

нулю, должно существовать ненулевое (комплексное) решение системы
линейных однородных уравнений (A − λE)y = 0, где y = (y
1
, . . . , y
n
)
т
.
Пусть y
1
= ξ
1
+ iη
1
, . . . , y
n
= ξ
n
+ iη
n
— это ненулевое решение. Пред-
ставим равенство (A − λE)y = 0 в виде Ay = λy, и запишем его более
подробно:
a
1,1
y
1
+ a
1,2
y
2
+ · · · + a
1,n
y
n
= λy
1
a
2,1
y
1
+ a
2,2
y
2
+ · · · + a
2,n
y
n
= λy
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n,1
y
1
+ a
n,2
y
2
+ · · · + a
n,n
y
n
= λy
n
Отделяя вещественную часть от комплексной, получим два набора ра-
венств:
a
1,1
ξ
1
+ a
1,2
ξ
2
+ · · · + a
1,n
ξ
n
= αξ
1
− βη
1
a
2,1
ξ
1
+ a
2,2
ξ
2
+ · · · + a
2,n
ξ
n
= αξ
2
− βη
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n,1
ξ
1
+ a
n,2
ξ
2
+ · · · + a
n,n
ξ
n
= αξ
n
− βη
n
(1.5.5)
и
a
1,1
η
1
+ a
1,2
η
2
+ · · · + a
1,n
η
n
= αη
1
+ βξ
1
a
2,1
η
1
+ a
2,2
η
2
+ · · · + a
2,n
η
n
= αη
2
+ βξ
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n,1
η
1
+ a
n,2
η
2
+ · · · + a
n,n
η
n
= αη
n
+ βξ
n
(1.5.6)
Обозначим через ξ столбец (ξ
1
, . . . , ξ
n
)
т
, а через η — столбец
(η
1
, . . . , η
n
)
т
. Тогда (1.5.5) запишется в виде Aξ = αξ − βη, а (1.5.6)
— в виде Aη = βξ + αη. Покажем, что столбцы ξ и η не нулевые, и
не пропорциональны друг другу. Напомним, что число λ = α + iβ не
является действительным, так что β ̸= 0. Кроме того, столбцы ξ и η не
могут быть равны нулю одновременно (одновременное равенство нулю
означало бы, что все y
j
равны нулю).
Допустим, что ξ = 0. Тогда η ̸= 0, и из Aη = βξ + αη получаем Aη =
αη, то есть имеется ненулевое решение системы уравнений (A−αE)z =
49
нулю, должно существовать ненулевое (комплексное) решение системы
линейных однородных уравнений (A − λE)y = 0, где y = (y , . . . , y )т .          1     n

Пусть y1 = ξ1 + iη1 , . . . , yn = ξn + iηn — это ненулевое решение. Пред-
ставим равенство (A − λE)y = 0 в виде Ay = λy, и запишем его более
подробно:
                       a1,1 y1 + a1,2 y2 + · · · + a1,n yn = λy1
                       a2,1 y1 + a2,2 y2 + · · · + a2,n yn = λy2
                       ...     ...     ...     ...        ...     ...     ...
                       an,1 y1 + an,2 y2 + · · · + an,n yn = λyn
Отделяя вещественную часть от комплексной, получим два набора ра-
венств:
                 a1,1 ξ1 + a1,2 ξ2 + · · · + a1,n ξn = αξ1 − βη1
                 a2,1 ξ1 + a2,2 ξ2 + · · · + a2,n ξn = αξ2 − βη2
                                                                                      (1.5.5)
                 ...     ...     ...     ...        ...     ...     ...     ...
                 an,1 ξ1 + an,2 ξ2 + · · · + an,n ξn = αξn − βηn
и
                 a1,1 η1 + a1,2 η2 + · · · + a1,n ηn = αη1 + βξ1
                 a2,1 η1 + a2,2 η2 + · · · + a2,n ηn = αη2 + βξ2
                                                                                      (1.5.6)
                 ...     ...     ...     ...     ...        ...     ...     ...
                        an,1 η1 + an,2 η2 + · · · + an,n ηn = αηn + βξn
Обозначим через ξ столбец (ξ1 , . . . , ξn )т , а через η — столбец
(η1 , . . . , ηn )т . Тогда (1.5.5) запишется в виде Aξ = αξ − βη, а (1.5.6)
— в виде Aη = βξ + αη. Покажем, что столбцы ξ и η не нулевые, и
не пропорциональны друг другу. Напомним, что число λ = α + iβ не
является действительным, так что β ̸= 0. Кроме того, столбцы ξ и η не
могут быть равны нулю одновременно (одновременное равенство нулю
означало бы, что все yj равны нулю).
    Допустим, что ξ = 0. Тогда η ̸= 0, и из Aη = βξ + αη получаем Aη =
αη, то есть имеется ненулевое решение системы уравнений (A − αE)z =

                                               49

Страницы