Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1.5.1. Тривиальными примерами инвариантных подпро-
странств являются нулевое подпространство и все пространство V .
Ker(f) и Im(f) являются инвариантными подпространствами f. Если λ
— собственное значение f, то V
λ
— инвариантное подпространство f.
Сумма и пересечение инвариантных подпространств являются инвари-
антными подпространствами.
Если f : V → V — линейный оператор, и W ⊆ V — его инвариант-
ное подпространство, то ограничение оператора f на подпространство
W (обозначение f|
W
) можно рассматривать как линейное отображение
(линейный оператор) из W в W .
Лемма 1.5.1. Пусть f : V → V — линейный оператор, и U =
⟨v
1
, . . . , v
m
⟩ — некоторое подпространство. Оно будет инвариант-
ным относительно f тогда и только тогда, если для каждого i,
1 ≤ i ≤ m, будет выполняться включение f(v
i
) ∈ U.
Доказательство. Если U инвариантно относительно f, то утверж-
дение леммы очевидно. Обратно, пусть выполняется утверждение лем-
мы. Рассмотрим произвольный вектор u ∈ U. Так как U = ⟨v
1
, . . . , v
m
⟩,
то u =
m
∑
j=1
α
j
v
j
. Тогда f(u) =
m
∑
j=1
α
j
f(v
j
). Так как по условию f(v
j
) ∈ U
для всех j, то и линейная комбинация векторов f(v
j
) принадлежит под-
пространству U. Отсюда следует, что u ∈ U.
Теорема 1.5.1. Пусть f : V → V — линейный оператор, U ⊆ V
— инвариантное относительно f подпространство, v
1
, . . . , v
m
— ба-
зис U. Дополним его до базиса всего пространства V векторами
v
m+1
, . . . , v
m
. Тогда матрица A оператора f в этом базисе будет
иметь следующий блочный вид:
A =
(
A
1,1
A
1,2
0 A
2,2
)
(1.5.1)
44
Пример 1.5.1. Тривиальными примерами инвариантных подпро-
странств являются нулевое подпространство и все пространство V .
Ker(f ) и Im(f ) являются инвариантными подпространствами f . Если λ
— собственное значение f , то V λ — инвариантное подпространство f .
Сумма и пересечение инвариантных подпространств являются инвари-
антными подпространствами.

  Если f : V → V — линейный оператор, и W ⊆ V — его инвариант-
ное подпространство, то ограничение оператора f на подпространство
W (обозначение f |W ) можно рассматривать как линейное отображение
(линейный оператор) из W в W .

Лемма 1.5.1. Пусть f : V → V — линейный оператор, и U =
⟨v1 , . . . , vm ⟩ — некоторое подпространство. Оно будет инвариант-
ным относительно f тогда и только тогда, если для каждого i,
1 ≤ i ≤ m, будет выполняться включение f (vi ) ∈ U .

  Доказательство. Если U инвариантно относительно f , то утверж-
дение леммы очевидно. Обратно, пусть выполняется утверждение лем-
мы. Рассмотрим произвольный вектор u ∈ U . Так как U = ⟨v1 , . . . , vm ⟩,
       ∑
       m                       ∑
                               m
то u =   αj vj . Тогда f (u) =   αj f (vj ). Так как по условию f (vj ) ∈ U
       j=1                     j=1
для всех j, то и линейная комбинация векторов f (vj ) принадлежит под-
пространству U . Отсюда следует, что u ∈ U .

Теорема 1.5.1. Пусть f : V → V — линейный оператор, U ⊆ V
— инвариантное относительно f подпространство, v1 , . . . , vm — ба-
зис U . Дополним его до базиса всего пространства V векторами
vm+1 , . . . , vm . Тогда матрица A оператора f в этом базисе будет
иметь следующий блочный вид:
                           (                      )
                                     A1,1 A1,2
                           A=                                       (1.5.1)
                                      0    A2,2

                                      44

Страницы