Лекции по алгебре. Выпуск I. Линейные отображения и линейные операторы. Тронин С.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Все разности v
i
j
− v
′
i
j
являются ненулевыми векторами из V
λ
j
. Таким
образом, получена нетривиальная линейная зависимость между ненуле-
выми собственными векторами оператора f, отвечающими различным
собственным значениям. Это противоречит доказанному выше утверж-
дению о линейной независимости таких векторов.
Теорема 1.4.4. Пусть f : V → V — линейный оператор , и λ
1
, . . . , λ
m
— все различные собственные значения f. Эквивалентны следующие
утверждения:
1) Оператор f диагонализируем;
2) V = V
λ
1
⊕ · · · ⊕ V
λ
m
.
3) dim(V ) = dim(V
λ
1
) + · · · + dim(V
λ
m
).
Доказательство. 1) =⇒ 2). Пусть в пространстве V существу-
ет базис v
1
, . . . , v
n
, состоящий из собственных векторов оператора f.
Можно считать, что векторы в этом базисе пронумерованы так, что
v
1
, . . . , v
n
1
— собственные векторы, отвечающие собственному значе-
нию λ
1
, v
n
1
+1
, . . . , v
n
1
+n
2
— собственные векторы, отвечающие собст-
венному значению λ
2
, и далее, v
n
1
+···+n
i−1
+1
, . . . , v
n
1
+···+n
i−1
+v
n
i
— собст-
венные векторы, отвечающие собственному значению λ
i
для каждого
i, 1 ≤ i ≤ m, так что n
1
+ · · · + n
m
= n = dim(V ). Отсюда сле-
дует, что ⟨v
n
1
+···+n
i−1
+1
, . . . , v
n
1
+···+n
i−1
+v
n
i
⟩ ⊆ V
λ
i
. Отсюда следует, что
n
i
≤ dim(V
λ
i
). Но так как сумма подпространств V
λ
1
+ · · · + V
λ
m
явля-
ется прямой суммой, то
dim(V
λ
1
+· · ·+V
λ
m
) = dim(V
λ
1
)+· · ·+dim(V
λ
m
) ≥ n
1
+· · ·+n
m
= n = dim(V ).
Однако V
λ
1
+ · · · + V
λ
m
является подпространством пространства V ,
и поэтому его размерность не превосходит числа n. Следовательно, все
отношения ≥ на самом деле являются равенствами, откуда следует, что
42
Все разности vij − vi′j являются ненулевыми векторами из V λj . Таким
образом, получена нетривиальная линейная зависимость между ненуле-
выми собственными векторами оператора f , отвечающими различным
собственным значениям. Это противоречит доказанному выше утверж-
дению о линейной независимости таких векторов.

Теорема 1.4.4. Пусть f : V → V — линейный оператор, и λ1 , . . . , λm
— все различные собственные значения f . Эквивалентны следующие
утверждения:

 1) Оператор f диагонализируем;

 2) V = V λ1 ⊕ · · · ⊕ V λm .

 3) dim(V ) = dim(V λ1 ) + · · · + dim(V λm ).

   Доказательство. 1) =⇒ 2). Пусть в пространстве V существу-
ет базис v1 , . . . , vn , состоящий из собственных векторов оператора f .
Можно считать, что векторы в этом базисе пронумерованы так, что
v1 , . . . , vn1 — собственные векторы, отвечающие собственному значе-
нию λ1 , vn1 +1 , . . . , vn1 +n2 — собственные векторы, отвечающие собст-
венному значению λ2 , и далее, vn1 +···+ni−1 +1 , . . . , vn1 +···+ni−1 +vni — собст-
венные векторы, отвечающие собственному значению λi для каждого
i, 1 ≤ i ≤ m, так что n1 + · · · + nm = n = dim(V ). Отсюда сле-
дует, что ⟨vn1 +···+ni−1 +1 , . . . , vn1 +···+ni−1 +vni ⟩ ⊆ V λi . Отсюда следует, что
ni ≤ dim(V λi ). Но так как сумма подпространств V λ1 + · · · + V λm явля-
ется прямой суммой, то

dim(V λ1 +· · ·+V λm ) = dim(V λ1 )+· · ·+dim(V λm ) ≥ n1 +· · ·+nm = n = dim(V ).

Однако V λ1 + · · · + V λm является подпространством пространства V ,
и поэтому его размерность не превосходит числа n. Следовательно, все
отношения ≥ на самом деле являются равенствами, откуда следует, что

                                          42

Страницы