Введение в универсальную и категорную алгебру - 13 стр.

NORMALXNOJ PODGRUPPE H .
   oPREDELENIE 2.4. fAKTORGRUPPOJ GRUPPY G PO NORMALXNOJ POD-
GRUPPE H NAZYWAETSQ MNOVESTWO G=H WSEH RAZLI^NYH SMEVNYH KLAS-
SOW G PO H , SO SLEDU@]IMI OPERACIQMI. uMNOVENIE: (xH )(yH ) =
xyH . rOLX EDINICY IGRAET KLASS H . wZQTIE OBRATNOGO \LEMENTA:
(xH ) 1 = x 1H . dLQ GRUPP S ADDITIWNOJ ZAPISX@: (x + H )+(y + H ) =
    ;      ;




(x + y) + H , ;(x + H ) = (;x) + H .
   dLQ OBOSNOWANIQ KORREKTNOSTI OPREDELENIQ TREBUETSQ POKAZATX, ^TO
REZULXTAT OPERACII NAD SMEVNYMI KLASSAMI NE ZAWISIT OT WYBORA PRED-
STAWITELEJ KLASSOW. oTOBRAVENIE  : G ;! G=H , (x) = Hx = xH
STANOWITSQ S@R_EKTIWNYM GOMOMORFIZMOM GRUPP ( NAZYWAEMYM ESTES-
TWENNOJ PROEKCIEJ NA FAKTORGRUPPU ), PRI^EM Ker() = H . w SLU^AE
KONE^NYH GRUPP jG=H j = jG : H j , jGj = jG=H jjH j .
tEOREMA     2.3.  (1) (\tEOREMA O GOMOMORFIZME"). pUSTX DANA GRUPPA
    G , EE NORMALXNAQ PODGRUPPA H , I GOMOMORFIZM GRUPP f : G ;!
    W , TAKOJ, ^TO H  Ker(f ) . tOGDA SU]ESTWUET ODIN I TOLXKO
    ODIN GOMOMORFIZM ' : G=H ;! W , TAKOJ, ^TO f = '  , TO
    ESTX KOMMUTATIWNA DIAGRAMMA:
                            G ;!  f W
                            # %'
                            G=H
    oBRAZ ' SOWPADAET S OBRAZOM f . gOMOMORFIZM ' IN_EKTIWEN
    TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI H = Ker(f ) . w \TOM SLU^AE ' OSU-
    ]ESTWLQET IZOMORFIZM MEVDU G=H I PODGRUPPOJ f (G)  W .
(2) w ^ASTNOSTI, ESLI f | S@R_EKCIQ , I H = Ker(f ) , TO G=H =
    W (\TEOREMA OB IZOMORFIZME").

                                 13