Введение в универсальную и категорную алгебру - 15 стр.

PODGRUPPA NAZYWAETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ G , POROVDENNOJ MNO-
VESTWOM X .
   oDNO IZ WAVNEJIH PRILOVENIJ \TOJ KONSTRUKCII | KOMMUTANT
GRUPPY. w KA^ESTWE X RASSMOTRIM MNOVESTWO WSEH KOMMUTATOROW |
\LEMENTOW WIDA a b] = aba 1b 1 . nORMALXNAQ PODGRUPPA, POROVDEN-
                                ;    ;




NAQ MNOVESTWOM WSEH KOMMUTATOROW, OBOZNA^AETSQ ^EREZ G G] , I NA-
ZYWAETSQ KOMMUTANTOM GRUPPY G . fAKTI^ESKI, TAK KAK ca b]c 1 =          ;




cac 1 cbc 1] , KOMMUTANT SOWPADAET S PROSTO PODGRUPPOJ, POROVDENNOJ
    ;     ;




WSEMI KOMMUTATORAMI. zAMETIM, ^TO a b] = 1 TOGDA I TOLXKO TOGDA,
ESLI ab = ba . tAK KAK a b] 1 = b a] , TO GRUPPA G G] SOSTOIT IZ
                                 ;




WSEWOZMOVNYH PROIZWEDENIJ KOMMUTATOROW.
tEOREMA 2.4. fAKTORGRUPPA G=G G] QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ.
eSLI H | TAKAQ NORMALXNAQ PODGRUPPA G , ^TO G=H KOMMUTATIW-
NA, TO G G]  H .
 pRIMER 2.6 . Sn Sn] = An . pRI n  5 An An] = An .
A4 A4] = f 1 (12)(34) (13)(24) (14)(23) g .
 pRIMER 2.7 . . eSLI K { POLE, TO GLn(K ) GLn(K )] = SLn(K ) .
   rASSMOTRIM CEPO^KU WLOVENIJ NORMALXNYH PODGRUPP:
    G  G G]  G G] G G]]  G G] G G]] G G] G G]]]  : : :
pOLOVIM G G] = G(1) , G(n 1) G(n 1)] = G(n) .
                                ;         ;




   oPREDELENIE 2.5. gRUPPA G NAZYWAETSQ RAZREIMOJ, ESLI G(n) =
f 1 g DLQ NEKOTOROGO KONE^NOGO n .
tEOREMA       2.5.   (tOMPSON-fEJT) wSQKAQ KONE^NAQ GRUPPA NE^ETNOGO
PORQDKA RAZREIMA.
dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY, OPUBLIKOWANNOE W 1963 GODU, ZANIMAET
OKOLO 250 STRANIC VURNALXNOGO FORMATA. w 1970-M GODU ODIN IZ AWTO-
                                         15