Введение в универсальную и категорную алгебру - 16 стр.

ROW, dVON tOMPSON, BYL UDOSTOEN fILDSOWSKOJ PREMII (WYSEJ NAGRA-
DY ZA DOSTIVENIQ W MATEMATIKE).
   gRUPPA F NAZYWAETSQ SWOBODNOJ, ESLI W NEJ SU]ESTWUET PODMNOVEST-
WO X ( BAZIS) , TAKOE, ^TO DLQ L@BOJ GRUPPY W I L@BOGO OTOBRAVENIQ
' : X ! W SU]ESTWUET ODIN I TOLXKO ODIN GOMOMORFIZM f : F ! W ,
TAKOJ, ^TO DLQ WSEH x 2 X IMEET MESTO RAWENSTWO f (x) = '(x) . sWO-
BODNAQ GRUPPA S BAZISOM IZ ODNOGO \LEMENTA | \TO BESKONE^NAQ CIKLI-
^ESKAQ GRUPPA.
tEOREMA 2.6. sWOBODNAQ GRUPPA SU]ESTWUET DLQ L@BOGO NAPERED
ZADANNOGO BAZISA, I OPREDELENA S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA. l@BAQ
GRUPPA IZOMORFNA FAKTORGRUPPE NEKOTOROJ SWOBODNOJ GRUPPY.
   |TA TEOREMA ESTX ^ASTNYJ SLU^AJ BOLEE OB]EGO FAKTA, KOTORYJ BU-
DET DOKAZAN W SLEDU@]EJ GLAWE. kONKRETNOE VE POSTROENIE F , NEFOR-
MALXNO GOWORQ, TAKOWO. F ESTX MNOVESTWO SLOW WIDA x"i x"i : : : x"inn , GDE
                                                            1
                                                            1
                                                                2
                                                                2

xik 2 X , "k = 1 , n  0 , 1  k  n . uMNOVENIE OSU]ESTWLQETSQ
PUTEM PRIPISYWANIQ ODNOGO SLOWA K DRUGOMU. pRI \TOM NADO OTOVDEST-
WLQTX WSE SLOWA xx 1 I x 1 x S PUSTYM SLOWOM, TO ESTX S EDINICEJ
                     ;       ;




GRUPPY F . mEVDU \LEMENTAMI IZ X NET NIKAKIH SOOTNOENIJ, KROME
TEH, KOTORYE QWLQ@TSQ SLEDSTWIQMI OPREDELENIQ GRUPPY. rAZUMEETSQ,
NA SAMOM DELE NADO GOWORITX O MNOVESTWE KLASSOW \KWIWALENTNYH SLOW.
   pUSTX GRUPPA G IZOMORFNA F=H , GDE H | NORMALXNAQ PODGRUPPA
F , POROVDENNAQ (KAK NORMALXNAQ PODGRUPPA ! ) MNOVESTWOM \LEMENTOW
Z , QWLQ@]IHSQ SLOWAMI W ALFAWITE X . tOGDA GOWORQT, ^TO GRUPPA G
ZADANA MNOVESTWOM OBRAZU@]IH X I SOOTNOENIJ Z . oBOZNA^ENIQ:
                            G = h X j Z i = GR(X jZ )
eSLI z = x"i x"i : : :x"inn 2 Z , I OBRAZ x 2 X W G OBOZNA^AETSQ SNOWA
             1
             1
                 2
                 2

^EREZ x , TO \TO ZNA^IT, ^TO W G WSE x"i x"i : : :x"inn RAWNY EDINICE GRUPPY
                                         1
                                         1
                                             2
                                             2


                                    16