Составители:
Рубрика:
79
равняться нулю. Это накладывает определенную связь на координаты
системы. В частности, если (x
i
, y
i
) — компоненты малого смещения каж-
дого из шариков от положения равновесия, то должны выполняться со-
отношения
x
1
+ x
2
+ x
3
= 0 , y
1
+ y
2
+ y
3
= 0 .
Одну собственную моду легко определить из соображений симмет-
рии. Очевидно, что таковой будет колебание, при котором каж дый ша-
рик вибрирует с одной и той же амплитудой вдоль направления биссек-
трисы угла треугольника, в вершине которого он находится. При смеще-
нии от положения равновесия на малую величину x ≪ a (a — расстояние
между шариками в положении равновесия) длина каждой пружины уве-
личивается на ∆l =
√
3x. Поэтому кинетическая энергия всей системы
равна 3m ˙x
2
/2, а потенциальная — 9kx
2
/2. Отсюда легко найти, что ча-
стота соответствующего колебания равна ω
1
=
p
3k/m.
Две другие ненулевые частоты колебаний найти сложнее, однако и
здесь помогают соображения симметрии. Очевидно, что такое колебание
должно оставлять один шариков в соответствующей плоскости симмет-
рии системы, содержащей биссектрису угла, в вершине которого распо-
ложен шарик. Движения оставшихся шариков при этом будут зеркаль-
ным отражением друг друга в этой плоскости симметрии. Cхематически
такая собственная мода показана на рис. 2.11,а. Пунктиром на нем пока-
зано положение системы в равновесном состоянии, плоскость симметрии
проходит через вторую вершину треугольника параллельно оси y. Для
такого колебания выполняются соотношения
y
1
= y
3
x
1
= −x
3
, x
2
= 0 , y
2
= −2y
1
, (1)
из которых следует, что су щественных координаты всего две. В их ка-
честве можно выбрать, например, координаты первого шарика x
1
и y
1
.
Выразим через них кинетическую и потенциальную энергию систе-
мы, считая, что x
1
, y
1
≪ a. Простое вычисление, которое мы здесь опус-
каем, показывает, что
E
к
=
2m ˙x
2
1
2
+
6m ˙x
2
1
2
,
E
п
=
9kx
2
1
4
+
27ky
2
1
4
−
3
√
3kx
1
y
1
2
.
Используя эти выражения, можно построить функцию Лагранжа систе-
мы L(x
1
, ˙x
1
, y
1
, ˙y
1
) = E
к
− E
п
, а затем получить уравнения динамики,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
