Составители:
Рубрика:
77
равной нулю. Полная функция Гамильтона системы состоит из гамиль-
тониана свободного электрона, гамильтониана колебательного контура
и гамильтониана взаимодействия: H = H
e
+ H
k
+ H
вз
.
Для свободного электрона H
e
= p
2
/2m. Гамильтониан контура мож-
но записать из следующих соображений. Известно, что гамильтониан
гармонического осциллятора механической природы (например шарика
на пружинке) имеет вид H
k
= kx
2
/2+p
2
/2m. С другой стороны, уравне-
ния колебаний шарика на пружинке переходят в уравнения колебатель-
ного контура, если сделать замены x → q, ˙x → I, m → L, k → 1/C, где I
— ток в контуре, L и C — индуктивность и емкость. Поэтому функция
Гамильтона колебательного контура равна H
k
= q
2
/(2C) + P
2
/(2L), где
P = L ˙q — импульс, канонически сопряженный переменной q.
Осталось определить гамильтониан взаимодействия. Он равен энер-
гии электрона в электрическом поле между пластинами конденсатора,
или H
вз
= eqx/(Cd), d — расстояние между пластинами. Теперь можно
записать полную функцию Гамильтона:
H =
p
2
2m
+
q
2
2C
+
P
2
2L
+
eqx
Cd
.
Уравнения системы получаются из уравнений Гамильтона:
˙x =
∂H
∂p
=
p
m
,
˙p = −
∂H
∂x
= −
eq
Cd
,
˙q =
∂H
∂P
=
P
L
,
˙
P = −
∂H
∂q
= −
q
C
−
ex
Cd
.
Дифференцируя первое и третье уравнения и подставляя в них соответ-
ственно второе и четвертое, получаем систему связанных уравнений
¨x = −
e
mCd
q , ¨q + ω
2
0
q = −
e
LCd
x ,
ω
2
0
= 1/(LC). Эта система описывает связанные колебания заряженной
частицы и контура. Электрическое поле конденсатора, действуя на элек-
трон, заставляет его “дрожать”, в свою очередь, за счет движения элек-
трона наводится дополнительный ток в цепи контура, что приводит к
его возбуждению.
Решение уравнений связанных колебаний ищем в виде
x(t) = Re[x
0
exp(iωt)] , q(t) = Re[q
0
exp(iωt)] ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
