Составители:
Рубрика:
76
где λ = m(ω
2
− ω
2
0
)/k. Вычисляя детерминант уравнения, получаем ха-
рактеристическое уравнение вида
λ(λ
3
− 6λ
2
+ 10λ − 4) = 0 . (4)
Отсюда сразу получаем λ
1
= 0 или ω
1
= ω
0
. Первая собственная частота
совпадает с частотой колебаний несвязанных маятников. Очевидно, что
эта собственная мода отвечает синфазному колебанию всех маятников,
когда пружинки не подвергаются сжатиям и растяжениям. Соответству-
ющий собственный вектор есть
¯
X
1
= [1, 1, 1, 1]
T
.
Оставшиеся три собственных числа есть корни полинома в скобках
в (4). Для их определения обратимся к исходной системе и заметим,
что еще одну собственную моду легко найти из соображений симмет-
рии. Предположим, что в системе возбуждены такие колебания, что два
крайних маятника совершают синфазные движения с одинаковой ампли-
тудой, а два средних маятника двигаются с той же самой амплитудой
в противофазе к ним. Тогда центральная пружина остается нерастяну-
той, а у двух крайних пружин в процессе движения остаются неподвиж-
ными средние точки. Частота таких колебаний ω
2
=
p
2k/m, что дает
λ
2
= 2. Проверка показывает, что это действительно корень характе-
ристического уравнения. Соответствующий собственный вектор равен
¯
X
2
= [1, −1, −1, 1]
T
.
Оставшиеся собственные числа определим, поделив полином (4) на
λ(λ−2). Получаем квадратное уравнение λ
2
−4λ+2 = 0, корни которого
равны λ
3,4
= 2 ∓
√
2. Частоты этих мод равны
ω
3,4
=
r
ω
2
0
+
2 ∓
√
2
k
m
Собственные векторы можно вычислить, подставляя значения λ
3,4
в урав-
нение (3). Опуская выкладки, приведем результат:
¯
X
3
= [1, −1, −1 +
√
2, 1 −
√
2]
T
,
¯
X
4
= [1, −1, −1 −
√
2, 1 +
√
2]
T
,
85. ω
1
= 2,
¯
X
1
= [1, 0, −1]
T
, ω
2
= 2−
√
2,
¯
X
2
= [1,
√
2, 1]
T
, ω
3
= 2+
√
2,
¯
X
3
= [1, −
√
2, 1]
T
.
87. Уравнения, описывающие поведение системы проще всего получить,
воспользовавшись методом Гамильтона. В качестве обобщенных коорди-
нат выберем заряд на конденсаторе и расстояние от электрона до одной
из пластин плоского конденсатора, потенциал которой будем считать
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- …
- следующая ›
- последняя »
