Составители:
Рубрика:
75
определяют собственные частоты колебаний системы. Вычислив одну
из собственный частот ω
i
и подставив ее в уравнение (2), можно найти
решение соответствующей однородной системы, т.е определить компо-
ненты собственного вектора
¯
X
i
, соответствующего этой собственной
частоте.
Отметим, что в общем случае решение характеристического уравне-
ния, определяющего собственные частоты невозможно провести Отме-
тим что в общем случае при N ≥ 5 корни алгебраического уравнения
нельзя получить аналитически, поэтому для систем с большим числом
осцилляторов необходимо пользоваться численными методами. Однако,
если в системе есть симметрия, например если все осцилляторы одина-
ковы, то аналитическое решение возможно (см. задачи 179 и 180.
Вид матриц жесткости и масс существенно упрощается, если все ма-
ятники и пружинки одинаковы. Без ограничения общности маятники
можно считать математическими, тогда
K
=
mω
2
0
+ k −k 0 . . . 0 0
−k mω
2
0
+ 2k −k . . . 0 0
0 −k mω
2
0
+ 2k . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −k mω
2
0
+ k
,
M
=
m 0 0 0 . . . 0
0 m 0 0 . . . 0
0 0 m 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . . . . . . . . . . . . m
= m
I
,
I
— единичная матрица, ω
2
= g/l.
Вернемся к условию задачи. В этом случае N = 4, следовательно
сразу можно записать алгебраическу ю проблему собственных значений:
ω
2
0
+ k/m −k/m0 0 0
−k/m ω
2
0
+ 2k/m −k/m 0
0 −k/m ω
2
0
+ 2k/m −k/m
0 0 −k/m ω
2
0
+ k/m
¯
X
= ω
2
I
¯
X
.
Это уравнение удобно преобразовать к виду
1 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 1
¯
X
= λ
I
¯
X
(3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
