Составители:
Рубрика:
81
получим две собственные частоты, совпадающие с ω
1
и ω
2
. Соответству-
ющие собственные векторы можно получить из
X
1
и
X
2
с помощью
следующей процедуры.
Вектор с компонентами (x
i
, y
i
), i = 1, 2, 3 показывает направление
смещения каждого шарика при возбуждении одной из собственных мод.
Чтобы получить собственные векторы для “повернутой” системы, необ-
ходимо умножить вектор смещения каждого шарика на матрицу пово-
рота на у гол 2π/3 против часовой стрелки:
x
′
i
y
′
i
=
U
2π/3
x
i
y
i
=
cos(2π/3) −sin(2π/3)
sin(2π/3) cos(2π/3)
x
i
y
i
,
а затем циклически переставить индексы, нумерующие шарики, по пра-
вилу 1 → 3 → 2 → 1. Пусть
ˆ
P — знак такой операции. Тогда легко
посчитать, что
X
′
1
=
ˆ
P
X
1
= [1,
√
3/3, 0, −2
√
3/3, −1,
√
3/3]
T
,
X
3
=
ˆ
P
X
2
= [0, 2
√
3/3, −1, −
√
3/3, 1, −
√
3/3]
T
.
Видно, что собственный вектор
X
′
1
совпадает с
X
1
, в то время, как
собственный вектор
X
3
является линейно независимым от
X
1
и
X
2
.
По этой причине можно утверждать, что в системе существует вырож-
дение: собственной частоте ω
2
отвечают два собственных вектора
X
2
и
X
3
. Следовательно полный спектр собственных частот таков:
{0, 0, 0,
p
3k/(2m),
p
3k/(2m),
p
3k/m}.
2.6. Волновое уравнение
88. ω
2
= v
2
k
2
. Это условие — дисперсионное уравнение задачи. Скорость
распространения волны V = ω/k = v.
91. См. рис. 2.12
93. Общее решение волнового уравнения имеет вид
F (x, t) =
1
2
[ϕ(x − vt) + ϕ(x + vt)] +
1
2v
x+vt
Z
x−vt
ψ(ξ) dξ .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
