Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

217
§ 3. Напоминание о волновой терминологии. Общее л инейное урав-
нение. Дисперсионное соотношение. Диспергирующие волны;
груповая скорость
Обратимся вновь к волновому уравнению (9.3) , в кот ором ϕ харак-
теризует некот орую величину, связанную с волной, а v
2
= const > 0.
Поскольку в самом общем случае мы определили волну как простран-
ственно — временную эволюцию некоторого состояния, уравнение (9.3)
определяет пространственно — временную эволюцию величины ϕ в изо-
тропной консервативной среде. Как указывалось выше, общее решение
уравнения (9.3) имеет вид суммы решений (9.4), где F
1
и F
2
— про-
извольные функции. Решение F
1
(x − vt) — распространяющаяся волна,
бегущая в положительном направлении оси x с постоянной скоростью v,
а F
2
(x + vt) — распространяющаяся волна, бегущая с той же скоростью
в отрицательном направлении оси x. Аргументы ξ
1
= x −vt и ξ
2
= x + vt
суть фазы волн F
1
и F
2
, соответственно. Очевидно, что
dξ
1
dt
= 0, когда
ξ
1
= const, но тогда
dx
dt
= v. Это означает, что наблюдатель, движущий-
ся с волной F
1
со скоростью v, будет все время видет ь одну и ту же
фазу волны F
1
, т.е. будет отмечать одно и то же состояние волнового
движения, соответствующее начальному значению F
1
. Если наблюдатель
движется со скоростью
dx
dt
= −v вместе с волной F
2
, то он будет фикси-
ровать одну и ту же фазу ξ
2
, т.е. одно и то же значение F
2
, с которого
началось движение.
Сказанное выше определяет физическ ий смысл терминов фаза и ско-
рость волны, называемой также фазовой скоростью.
Когда F
1
, например, периодическая функция, а F
2
= 0, что соответ-
ствует периодической распро страняющейся волне, точка, в которой ϕ име-
ет максимум называется гребнем, а точка, где ϕ минимальна, впадиной
волны.
Волновое уравнение (9.3) о тносится к классу гиперболических урав-
нений в частных производных. По этому оно обладает двумя веществен-
ными хара к теристиками в плоскости (x, t):
dx
dt
= v и
dx
dt
= −v (9.5)
Таким образом, F
1
= const вдоль первой характеристики, а F
2
= const
вдоль второй.
Описываемый волновым уравнением факт распространения волн в
двух противоположных направлениях следует из инвариантности урав-
нения (9.3) относительно преобразования x → (−x), t → (−t). Время в

Страницы