Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 218 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

218
уравнении (9.3) обратимо, и поэтому можно изучать будущее волны с
таким же успехом, как и прошлое.
Пусть теперь F
1
(x − vt) = a sin(kx − ωt), v = ω/k, F
2
(x + vt) =
= 0, ω и k — постоянны. Тогда ϕ = a sin(kx − ωt) представляет собой
периодическую бегущую волну с амплитудой a и фазовой скоростью v,
определяемой соотношением ω = vk или v = ω/k. Такая волна е сть
решение волнового уравнения (9.3) при начальных условиях ϕ(0, x) =
= a sin kx, ∂ϕ(x, 0)/∂t = −ωa cos kx. В фиксированный момент времени
t величина ϕ(x, t) изменяется по x синусоидально (см. рис. 9.1). Легко
видеть, что для любого момента времени t точки x = (4n + 1)π/(2k) + vt
(n = ±0, ±1, ±2, . . . ) соответствуют гребням волны (т.е. максимальным
значениям ϕ), а точки x = (4n + 3)π/(2k) + vt — впадинам волны (т.е.
минимальным значениям ϕ). Расстояние между двумя последовательны-
ми гребнями или впадинами называется длиной волны и обозначается
через λ:
λ = [(4n + 5)(π/2k) + vt] − [(4n + 1)(π/2k) + vt] = 2π/k.
Из последней формулы видно, что, так называемое, волновое число k
определяет ч исло волн, укладывающихся на отрезок единичной длины,
где в данном случае за единицу длины принято 2π. В фиксированной точ-
ке с абсциссой, например, равной x
1
, функция ϕ колеблется во времени
с периодом T = 2π/ω, где ω — угловая частота волн. Последняя опре-
деляет число волн, прошедших через данную точку в единицу времени,
за которую принято 2π. Если теперь взять F
1
(x − vt) = a sin(kx − ωt),
F
2
(x + vt) = a sin(kx + vt), то
ϕ(x, t) = 2a cos ωt sin kx , (9.6)
т. е. можно изучит ь поведение ϕ с изменением t и x независимо друг от
друга.
Такой выбор F
1
и F
2
соответствует, очевидно, следующим начальным
условиям для функции ϕ:
ϕ(x, 0) = 2a sin kx ,
∂ϕ(x, 0)
∂t
= 0 .
Точки x = nπ/k называют узлами волны; в них ϕ = 0 все время. В
точках x = (2n + 1)(π/2k) функция ϕ максимальна; их называют пуч-
ностями волны. Решение (9.6) — результат суперпозиции двух синусои-
дальных бегущих волн одинаковой амплитуды, длины волны и частоты,

Страницы