Составители:
Рубрика:
220
решение уравнения (9.7) в следующем виде:
ϕ(x, t) = ae
i(kx−ωt)
, (9.9)
предположив, что это уравнение однородное и независимые переменные
x и t в него явно не входят. Такой вид решения представляется разум-
ным, поскольку в силу линейности уравнения (9.7) его общее решение
можно построить в виде суперпозиции различных Фурье — компонент.
Тогда
∂
∂t
→ −iω,
∂
∂x
→ ik, и все производные по t и x исключаются. В ре-
зультате вместо уравнения (9.7) приходим к некоторому алгебраическому
соотношению
D(ω, k, A
i
) = 0 , (9.10)
где A
i
— параметры, фигурирующие в уравнении (9.7). Соотношение (9.10)
называется дисперсионным уравнением, которое формально можно пере-
писать в виде:
ω = ω(k, A
i
) . (9.11)
В такой записи оно определяет частоту волны ω в зависимости от вол-
нового числа и параметров A
i
. Число корней уравнения (9.11) зависит
от степени n этого алгебраического уравнения относительно ω. Заметим,
что в дисперсионном уравнении не известны ни k, ни ω, а известна лишь
их связь
6
. Если k задано, то не известна только ω, и уравнение (9.11) на-
зывают характеристическим (оно определяет собственные колебания си-
стемы). Опуская зависимость ω от A
i
, рассмотрим произвольный корень
уравнения (9.11)
ω = ω(k) . (9.12)
Тогда соответствующая Фурье — компонента выражается в виде
ϕ(x, t) ∼ e
i[kx−ω(k)t]
,
так что временная эволюция ϕ(x, t) полностью определяется свойствами
величины ω(k).
Проанализируем три следующих случая.
1) Если ω(k) вещественная величина, то ϕ(x, t) есть гармоническая
бегущая волна.
6
Частота может быть задана, и тогда (9.11) превращается в дисперсионное уравнение
относительно k. В этом случае речь идет о нормальных (собственных) волнах системы.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- …
- следующая ›
- последняя »
