Составители:
Рубрика:
221
2) Если ω(k) = iω
2
(k) чисто мнимая величина, то
ϕ(x, t) ∼ e
ikx
e
ω
2
(k)t
,
что соответствует нераспространяющейся стоячей волне.
В случае, когда Im[ω(k)] > 0, функция ϕ с ростом t экспоненци-
ально возрастает, когда Im[ω(k)] < 0 эта функция экспоненциально
затухает с ростом t. Первый случай соответствует неограниченному
росту начального возмущения в системе (говорят, что волна в си-
стеме нарастающая или усиливающаяся). Такую систему называют
нестабильной относительно данной собственной волны. Во втором
случае система стабильна; волна называется спадающей или зату-
хающей.
3) Если ω(k) = ω
1
(k) + iω
2
(k), где ω
1
и ω
2
вещественны, то
ϕ(x, t) ∼ e
i[kx−ω
1
t]
e
ω
2
(k)t
,
При ω
2
= Im(ω) < 0 приходим к гармонической волне с экспонен-
циально убывающей со временем амплитудой (система стабильна).
Если ω
2
= Im(ω) > 0, то получаем гармоническую волну с нараста-
ющей во времени амплитудой (система нестабильна относительно
рассматриваемой собственной волны).
Легко понять, что дисперсионное уравнение важно при рассмотрении от-
клика системы на возмущение, ко торое в начальный момент предполага-
ется бесконечно малым.
Дисперсионное уравнение позволяет по-другому классифицировать вол-
ны (см., например [14]).
Пусть уравнение (9.12) определяет вещественные ω для каждого k
(0 ≤ k < ∞. Тогда, если d
2
ω/dk
2
6= 0, то говорят, что волна диспергирую-
щая; если d
2
ω/dk
2
= 0, то говорят, что такая волна не диспергирующая.
Данная классификация позволяет ввести новую характеристику волново-
го движения, называемую групповой скоростью, как
v
гр
=
dω
dk
. (9.13)
При наличии в системе механизма диссипации амплитуда волны будет
затухать со временем, как было показано выше (ω = ω
1
+ iω
2
, ω
2
=
= Im(ω) < 0). Такие волны иногда называют диссипирующими. Если
ω — действительная величина, то волны называют недиссипирующими.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- …
- следующая ›
- последняя »
