Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 223 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

223
Напомним, что по определению фазовая скорость v
ф
= ω/k. Поскольку
и v
ф
, и v
гр
зависят от k, то понятно, что в случае, когда d
2
ω/dk
2
6= 0,
групповая скорость отличается от фазовой. При этом волны различной
длины распространяются с различными групповыми скоростями. Как вли-
яет дисперсия в системе на распространение возмущения, возникающего
вблизи x = 0 в момент t = 0 и представляющего собой суперпозицию
ряда гармонических волн различной длины?
Поскольку компоненты возмущения с различными волновыми числа-
ми распространяются с различными скоро стям и, начальное возмущение
через некоторое время растянется на некоторый пространственный ин-
тервал, который будет расти со временем. В этом случае имеем дело с
диспергирующей волной. Если d
2
ω/dk
2
= 0, то волна не диспергирующая
и v
ф
= v
гр
.
§ 4. С чем связано существование дисперсии в среде? Постранствен-
ная и временная дисперсия (существование в среде собствен-
ных пространственных и временных масштабов; нелокальная
связь физических величин; зависимость диэлектрической про-
ницаемости от частоты и волнового числа)
Обсудим подробнее смысл допущений, сделанных при выводе урав-
нения (9.2). Во-первых, функция ϕ
n
(t) была определена в дискретных
точках оси x, мы же заменили ее непрерывной. Во-вторых, мы разложи-
ли функцию ϕ(x, t) в ряд и отбросили высшие члены разложения (в этом
неточность уравнения (9.2)). Кроме того, проделывая эти операции, мы
не определили точно, по сравнению с чем a мало. Когда же справедли-
вы сделанные допущения? Получим дисперсионное уравнение для (9.2).
Подставляя ϕ(x, t) ∼ exp(iωt −ikx) в уравнение (9.2), имеем
ω
2
= ω
2
0
+ v
2
k
2
, (9.14)
или
ω
2
= ω
2
0
+
γ
1
m
(ka)
2
. (9.15)
Легко видеть, что уравнение (9.15) получается из, если sin
2
(ka/2) ≈
(ka)
2
/4, т.е. при ka 1. Итак, когда мы говорим о малости a по срав-
нению с характерным пространственным периодом волнового движения,
мы говорим о малости ka, и, следовательно, о малости a по сравнению
с длиной волны, поскольку k = 2π/λ (ka 1 или a λ). Для доста-
точно длинных волн наши допущения справедливы, и цепочку маятников

Страницы