Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 252 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

252
цией между силой, стремящейся возвратить жидкость в исходное состо-
яние, и силами инерции, которые заставляют жидкость проскочить его.
Например, для волн на воде возвращающими являются сила тяжести и
сила поверхностного натяжения, для вращающейся жидкости — сила Ко-
риолиса, для проводящей жидкости — сила действия магнитного поля.
Ограничимся рассмотрением идеальной жидкости. Идеальной назы-
вается жидкость, при движении которой вектор напряжения в жидкости
перпендикулярен любому элементу поверхности независимо от того, как
он ориентирован в пространстве (т. е. выполняется закон Паскаля). Ма-
тематически это означает, что давление в жидкости есть скаляр, а не
тензор [4]. В этом случае в жидкости отсутствуют сдвиговые силы, в
частности силы вязкости.
Согласно второму закону Ньютона уравнение движения элемента объ-
ема dV жидкости плотности ρ можно записать в виде ρ(dv/dt)dV = dF,
где v — скорость рассматриваемого элемента, dF — сила, действующая
на каждый элемент объема dV . На любой выделенный объем V жид ко-
сти со стороны окружающей жидкости действует сила, равная интегралу
от давления, который берется по поверхности выделенного объема, т. е.
−
H
pdS. (Предполагается, что вектор dS равен площади элемента поверх-
ности по абсолютному значению и направлен по внешней нормали к ней;
отсюда знак минус перед силой). Но по интегральной теореме о гради-
енте −
H
pdS = −
R
V
∇p dV . Кроме того, на выделенный элемент может
действовать внешняя заданная сила с плотностью ρa
вн
. Таким образом,
dF = −∇p dV + ρa
вн
dV , и уравнение движения становится таким:
ρ
dv
dt
= −∇p + ρa
вн
. (11.1)
Учитывая в (11.1), что dv/dt = ∂v/∂t + (v∇) v, приходим к основному
уравнению гидродинамики — уравнению Эйлера:
ρ
∂v
∂t
+ (v∇) v = −∇p + ρa
вн
. (11.2)
Очевидно, что имеет место закон сохранения массы
R
V
ρ dV рассматрива-
емого объема: изменение во времени массы в данном объеме −
∂
∂t
R
V
ρ dV
равно взятому с обратным знаком потоку массы −
H
ρv dS через поверх-
ность, ограничивающую этот объем, т.е.
∂
∂t
Z
ρ dV +
I
ρv dS = 0 , (11.3)

Страницы