Составители:
Рубрика:
254
Линеаризуя уравнения (11.2), (11.4) относительно малых возмущений ρ
0
,
v
0
и p
0
плотности, скорости и давления соответственно на ф оне их равно-
весных значений ρ
0
, v
0
и p
0
, получаем (считаем a
вн
= 0)
∂v
0
∂t
+ (v
0
∇)v
0
= −
1
ρ
0
∇p
0
,
∂p
0
∂t
+
dp
dρ
S
[div(v
0
ρ
0
) + ρ
0
div v
0
] = 0 .
(11.9)
В случае неподвижной среды (v
0
= 0), вводя потенциал скорости v =
= ∇ϕ, получаем для возмущения давления p
0
= −ρ
0
∂ϕ/∂t. В результате
из второго уравнения (11.9) следует волновое уравнение
∂
2
ϕ
∂t
2
− c
2
∆ϕ = 0 , (11.10)
где c =
p
(∂p/∂ρ)
S
— скорость звука. Очевидно, что в декартовых коор-
динатах волновому уравнению удовлетворяет и каждая из трех компонент
скорости (ч тобы убедиться в этом, надо применить к волновому уравне-
нию операцию grad), и давление.
Если все переменные в волне зависят лишь от одной из декартовых
координат (плоская волна), то уравнение (11.10) переходит в уже обсу-
ждавшееся в гл. 9 одномерное уравнение ∂
2
ϕ/∂t
2
−c
2
∂
2
ϕ/∂x
2
= 0, кото-
рое имеет общее решение в виде суперпозиции двух встречных плоских
волн:
ϕ(x, t) = f
1
(x − ct) + f
2
(x + ct) .
Поскольку в рассматриваемом приближения дисперсии у звуковых волн
нет, то закон дисперсии выглядит так:
ω = ±ck . (11.11)
Бегущие звуковые волны произвольной формы оказываются стационар-
ными, т. е. их профиль в процессе распространения не меняется. Это
легко пояснить на спектральном языке. Из-за отсутствия дисперсии все
спектральные составляющие, образующие волну, движутся с одинаковы-
ми скоростями и фазовые соотношения между ними сохраняются.
В плоской акустической волне отлична от нуля только x-компонента
скорости v
x
= ∂ϕ/∂x, т. е. частицы в волне движутся только по (или
только против) направлению распространения волны. Именно поэтому
акустические волны в жидкостях являются продольными.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- …
- следующая ›
- последняя »
